Coefficiente binomiale

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Il coefficiente binomiale è definito da

 C(n ; k) = {n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot \left( n - k \right)!}\qquad n,k\in\Z; 0\le k\le n

(dove n! è il fattoriale di n) e può essere calcolato anche facendo ricorso al triangolo di Tartaglia. Alla voce Combinazione è dimostrato che esso fornisce il numero delle combinazioni semplici di n elementi di classe k.

Per esempio:

{5\choose 3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}={120\over 12}=10

è il numero di combinazioni di 5 elementi presi 3 alla volta.

Indice

[modifica] Proprietà

Il coefficiente binomiale ha le seguenti proprietà:

  • {n \choose 0} = {n \choose n} = 1
  • {n \choose 1} = {n \choose n-1} = n
  • {n \choose k} = {n \choose n-k}


  • {n+1 \choose k+1} = {n \choose k+1} + {n \choose k} , ovvero: {n \choose k} = {n-1 \choose k} + {n-1 \choose k-1}

(proprietà che permette di costruire i coefficienti binomiali con il triangolo di Tartaglia)


  • 2^n = {n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} + ... + {n \choose n-1} + {n \choose n}

[modifica] Estensioni

Si può estendere il coefficiente binomiale al caso che k sia negativo, oppure maggiore di n, ponendo:

{n \choose k}=0,\qquad n,k\in\Z; n>0; k<0 oppure k > n

Si può anche estendere il coefficiente ai numeri reali. A tale scopo, può convenire iniziare con l'osservazione che il coefficiente binomiale è anche il rapporto tra il numero delle funzioni iniettive da un insieme di cardinalità k in uno di cardinalità n (ovvero il numero delle disposizioni semplici di n oggetti di classe k) ed il numero delle permutazioni di k oggetti:

{n \choose k}=\frac{(n)_k}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}

Si può porre:

(a)_k=a(a-1)\cdots(a-k+1)\qquad a\in\R; k\in\Z, k\ge 0

ad esempio,

(4.5)_3=4.5\cdot 3.5\cdot 2.5=39.375

Con tale convenzione, si ha:

{a \choose k}=\frac{(a)_k}{k!}\qquad a\in\R; k\in\Z, k\ge 0

ad esempio:

{4.5 \choose 3}=\frac{(4.5)_3}{3!}=\frac{39.375}{6}=6.5625

[modifica] Applicazioni

Il coefficiente binomiale è utilizzato per il calcolo dello sviluppo di un binomio, mediante la formula di Newton, ma soprattutto nel calcolo combinatorio. Per esempio per stabilire quante possibili coppie di rappresentanti di classe si possono avere in una classe di 25 alunni, basta calcolare

{25\choose 2}={25!\over 2!(25-2)!}=300\,

Ci sono quindi 300 diverse possibilità di abbinamento dei due rappresentanti di classe.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Collegamenti esterni

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