Coefficiente binomiale

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, il coefficiente binomiale  {n \choose k} (che si legge "n su k") è un numero intero non negativo definito dalla seguente formula

 {n \choose k} = C(n ; k) = \frac{n!}{k! \cdot \left( n - k \right)!}\qquad n,k\in\N; 0\le k\le n

(dove n! è il fattoriale di n) e può essere calcolato anche facendo ricorso al triangolo di Tartaglia. Alla voce Combinazione è dimostrato che esso fornisce il numero delle combinazioni semplici di n elementi di classe k.

Per esempio:

{5\choose 3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}={120\over 12}=10

è il numero di combinazioni di 5 elementi presi 3 alla volta.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il coefficiente binomiale ha le seguenti proprietà:

  • {n \choose 0} = {n \choose n} = 1
Dimostrazione formale:
{n \choose 0} = {{n!}\over{0!(n-0)!}} = {n! \over n!} = 1
{n \choose n} = {{n!}\over{n!(n-n)!}}= {n! \over n!} = 1
Dimostrazione combinatoria: le combinazioni di n elementi di lunghezza 0 o n sono evidentemente una sola: rispettivamente l'insieme vuoto o l'intero insieme di n elementi.
  • {n \choose 1} = {n \choose n-1} = n
Dimostrazione formale:
{n \choose 1} = {{n!}\over{1!(n-1)!}} = {{n!}\over{(n-1)![n-(n-1)]!}} = {n \choose n-1} = n
Dimostrazione combinatoria: vi sono evidentemente n modi per scegliere un elemento tra n o per tralasciarne uno.
  • {n \choose k} = {n \choose n-k}
Dimostrazione formale:
{n \choose k} = {{n!}\over{k!(n-k)!}} = {{n!}\over{(n-k)![n-(n-k)]!}} = {n \choose n-k}
Dimostrazione combinatoria: le scelte di k elementi sono in corrispondenza biunivoca con i sottoinsiemi degli n-k elementi tralasciati.
  • {n+1 \choose k+1} = {n \choose k+1} + {n \choose k} , ovvero: {n \choose k} = {n-1 \choose k} + {n-1 \choose k-1}
(proprietà che permette di costruire i coefficienti binomiali con il triangolo di Tartaglia)
Dimostrazione formale:
{n \choose k+1} + {n \choose k} = {{n!}\over{(k+1)!(n-k-1)!}}+{{n!}\over{k!(n-k)!}}
considerando il fatto che
(n-k)!=(n-k)(n-k-1)!, ed allo stesso modo (k+1)!=(k+1)k!
si ha
{n \choose k+1} + {n \choose k} = {{n!}\over{(k+1)k!(n-k-1)!}}+{{n!}\over{(n-k)k!(n-k-1)!}} =
= {(n-k){n!}\over{(k+1)(n-k)k!(n-k-1)!}}+{(k+1){n!}\over{(k+1)(n-k)k!(n-k-1)!}}
e quindi
{n \choose k+1} + {n \choose k} = {(n-k+k+1){n!}\over{(k+1)k!(n-k)(n-k-1)!}}
{n \choose k+1} + {n \choose k} = {{(n+1)!}\over{(k+1)!(n-k)!}} = {n+1 \choose k+1}
ovvero la tesi.
Dimostrazione combinatoria: Per calcolare il numero di combinazioni semplici di n+1 elementi di lunghezza k+1, scegliamo uno degli n+1 elementi, che chiameremo Pippo, e dividiamo le combinazioni in due classi: quelle che non contengono Pippo e quelle che lo contengono. Le cardinalità delle due classi sono evidentemente date dai due termini del secondo membro della formula che volevamo dimostrare.
  • 2^n = {n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} + \ldots + {n \choose n-1} + {n \choose n} =\sum_{k=0}^n {n \choose k}
Dimostrazione formale:
partendo dal teorema binomiale abbiamo:
 2^n =(1 + 1)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} 1^{(n-k)} 1^{k} = \sum_{k=0}^n {n \choose k}
ovvero la tesi.
Dimostrazione combinatoria:
 2^{n} è il numero dei sottoinsiemi di un insieme di n elementi. Possiamo dividere tali sottoinsiemi in classi, ponendo in ogni classe quelli di una data cardinalità. Poiché i sottoinsiemi di cardinalità k sono proprio {n \choose k}, si ottiene subito la tesi.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

  • Il teorema binomiale, o binomio di Newton, utilizza il coefficiente binomiale per esprimere lo sviluppo di una potenza n-esima di un binomio qualsiasi secondo la seguente formula:
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^{k}
  • Il numero di diagonali di un poligono convesso di n lati può essere espresso secondo la seguente formula: d={n \choose 2}-n=\frac{n(n - 3)}{2}
  • Dato un insieme S, tale che |S|=n, si utilizza il coefficiente binomiale per calcolare la cardinalità dell'insieme delle parti di S, \mathcal{P}(S):
|\mathcal{P}(S)|=\sum_{k=0}^n {n \choose k}=2^n

Estensioni[modifica | modifica wikitesto]

Si può estendere il coefficiente binomiale al caso che k sia negativo, oppure maggiore di n, ponendo:

{n \choose k}=0,\qquad n,k\in\Z; n>0; k<0 oppure k>n

Si può anche estendere il coefficiente ai numeri reali. A tale scopo, può convenire iniziare con l'osservazione che il coefficiente binomiale è anche il rapporto tra il numero delle funzioni iniettive da un insieme di cardinalità k in uno di cardinalità n (ovvero il numero delle disposizioni semplici di n oggetti di classe k) ed il numero delle permutazioni di k oggetti:

{n \choose k}=\frac{(n)_k}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}

Si può porre:

(a)_k=a(a-1)\cdots(a-k+1)\qquad a\in\C; k\in\Z, k\ge 0

ad esempio,

(4{,}5)_3=4{,}5\cdot 3{,}5\cdot 2{,}5=39{,}375

Con tale convenzione, si ha:

{a \choose k}=\frac{(a)_k}{k!}\qquad a\in\C; k\in\Z, k\ge 0

ad esempio:

{4{,}5 \choose 3}=\frac{(4{,}5)_3}{3!}=\frac{39{,}375}{6}=6{,}5625

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Mauro Cerasoli, Franco Eugeni; Marco Protasi, Elementi di matematica discreta, Bologna, Zanichelli, 1988.
  • Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Bologna, Zanichelli, 2003.
  • Sheldon M. Ross, Calcolo delle probabilità, Milano, Apogeo, 2004.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica