Coefficiente binomiale

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Il coefficiente binomiale è definito da

 C(n ; k) = {n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot \left( n - k \right)!}\qquad n,k\in\N; 0\le k\le n

(dove n! è il fattoriale di n) e può essere calcolato anche facendo ricorso al triangolo di Tartaglia. Alla voce Combinazione è dimostrato che esso fornisce il numero delle combinazioni semplici di n elementi di classe k.

Per esempio:

{5\choose 3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}={120\over 12}=10

è il numero di combinazioni di 5 elementi presi 3 alla volta.

Indice

Proprietà [modifica]

Il coefficiente binomiale ha le seguenti proprietà:

  • {n \choose 0} = {n \choose n} = 1
  • {n \choose 1} = {n \choose n-1} = n
  • {n \choose k} = {n \choose n-k}


  • {n+1 \choose k+1} = {n \choose k+1} + {n \choose k} , ovvero: {n \choose k} = {n-1 \choose k} + {n-1 \choose k-1}

(proprietà che permette di costruire i coefficienti binomiali con il triangolo di Tartaglia)


  • 2^n = {n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} + ... + {n \choose n-1} + {n \choose n} =\sum_{k=0}^n {n \choose k}

Applicazioni [modifica]

  • Il teorema binomiale, o binomio di Newton, utilizza il coefficiente binomiale per esprimere lo sviluppo di una potenza n-esima di un binomio qualsiasi secondo la seguente formula:
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^{k}


Estensioni [modifica]

Si può estendere il coefficiente binomiale al caso che k sia negativo, oppure maggiore di n, ponendo:

{n \choose k}=0,\qquad n,k\in\Z; n>0; k<0 oppure k>n

Si può anche estendere il coefficiente ai numeri reali. A tale scopo, può convenire iniziare con l'osservazione che il coefficiente binomiale è anche il rapporto tra il numero delle funzioni iniettive da un insieme di cardinalità k in uno di cardinalità n (ovvero il numero delle disposizioni semplici di n oggetti di classe k) ed il numero delle permutazioni di k oggetti:

{n \choose k}=\frac{(n)_k}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}

Si può porre:

(a)_k=a(a-1)\cdots(a-k+1)\qquad a\in\R; k\in\Z, k\ge 0

ad esempio,

(4{,}5)_3=4{,}5\cdot 3{,}5\cdot 2{,}5=39{,}375

Con tale convenzione, si ha:

{a \choose k}=\frac{(a)_k}{k!}\qquad a\in\R; k\in\Z, k\ge 0

ad esempio:

{4{,}5 \choose 3}=\frac{(4{,}5)_3}{3!}=\frac{39{,}375}{6}=6{,}5625

Bibliografia [modifica]

  • Mauro Cerasoli; Franco Eugeni; Marco Protasi, Elementi di matematica discreta, Bologna, Zanichelli, 1988.
  • Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Bologna, Zanichelli, 2003.
  • Sheldon M. Ross, Calcolo delle probabilità, Milano, Apogeo, 2004.

Voci correlate [modifica]

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