Cammino hamiltoniano

Nel campo matematico della teoria dei grafi, un cammino in un grafo (orientato o non orientato) è detto hamiltoniano se esso tocca tutti i vertici del grafo una e una sola volta. Determinare se questo cammino esista è un problema NP-completo. In termini rigorosi, la determinazione di un cammino hamiltoniano è la ricerca di una permutazione $(p_{0}, p_{1}, ..., p_{n-1})$ dei nodi tale che $(p_{i},p_{i+1}) \in E$ per ogni $0 \le \ i \le \ n-2$ dove con E si intende l'insieme di archi del Grafo.

Si ha un ciclo hamiltoniano quando in un cammino hamiltoniano esiste un arco che collega l'ultimo vertice con il primo, realizzando così un ciclo che visita tutti i vertici per poi ritornare al punto di partenza.

Un grafo che contenga almeno un ciclo hamiltoniano viene detto grafo Hamiltoniano.

Questi particolari cammini hanno preso il nome da William Rowan Hamilton che inventò un gioco da tavolo, il puzzle di Hamilton o icosian game, che consisteva nel trovare un cammino chiuso sul bordo di un dodecaedro.

Proprietà

Esistono due teoremi che forniscono una condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché un grafo con $n$ vertici sia hamiltoniano:

Teorema di Dirac:

Sia G un grafo su $n>3$ vertici. Se la valenza $d(v)$ di ogni vertice è maggiore o uguale a $n/2$, allora G è hamiltoniano.

Teorema di Ore:

Sia G un grafo su $n$ ≥ $2$ vertici. Se per ogni coppia x e y di vertici non adiacenti, vale che $d(x)+d(y)$ ≥ $n$, allora G è hamiltoniano.

Esiste inoltre un teorema che fornisce una condizione necessaria e sufficiente per una classe di grafi: i grafi completi con almeno tre vertici.

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