Gruppo abeliano

Un gruppo abeliano, o gruppo commutativo, è un gruppo la cui operazione binaria gode della proprietà commutativa: il gruppo $(G,*)$ è abeliano se

$a*b = b*a \quad \forall a, b \in G.$

Il nome deriva dal matematico norvegese Niels Henrik Abel.

I gruppi abeliani sono una generalizzazione dell'operazione aritmetica di somma sui numeri interi.

Un gruppo la cui operazione non è commutativa, viene chiamato gruppo non-abeliano o gruppo non-commutativo.

Esempi

Tutti i gruppi ciclici sono abeliani, infatti, se a è l'elemento ciclico di G e

$x; y \in G$

allora

$xy= a^{n}a^{m} = a^{n+m} = a^{m+n} = a^{m}a^{n} = yx.$

In particolare, i numeri interi con l'usuale addizione sono un gruppo abeliano.

Ogni campo F dà origine in modo naturale a due gruppi abeliani: il gruppo additivo (F; +) se si considera solo la somma, il gruppo moltiplicativo (F \ {0}; ×) dato dagli elementi di F diversi da zero e considerando la sola operazione di prodotto. I numeri reali danno luogo a due gruppi abeliani nel modo suddetto.

Proprietà

Ogni gruppo abeliano G può essere dotato di una struttura di modulo sull'anello Z dei numeri interi nel seguente modo: per $x \in G$, l'elemento nx è definito come il multiplo $n$-simo di x rispetto all'operazione di gruppo, vale a dire: nx := x+x+...+x con n addendi, (-n)x := -(nx). Di fatto, i moduli su Z possono essere identificati con i gruppi abeliani.

Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale, si può perciò costruire il gruppo quoziente a partire da ogni sottogruppo. Sottogruppi, gruppi quoziente, prodotti e somme dirette di gruppi abeliani sono ancora gruppi abeliani.

Gli omomorfismi Hom(G,H) tra due gruppi abeliani G e H costituiscono a loro volta un gruppo abeliano definendo la somma come $(f + g)(x) := f(x) + g(x)$, dove $f, g : G \to H, x \in H$.
Questa particolare definizione si può applicare solo ai gruppi abeliani, infatti, se H e G non fossero abeliani, avremmo:

$(f*g)(x*y) := f(x*y)*g(x*y) = f(x)*f(y)*g(x)*g(y)$

che differisce da

$(f*g)(x)*(f*g)(y)$

per l'ordine dei fattori, dimostrando che f$*$g non è un omomorfismo.

I gruppi abeliani, insieme con gli omomorfismi di gruppo, costituiscono una categoria che è una sottocategoria della categoria dei gruppi.

In un gruppo abeliano G si può invertire il teorema di Lagrange, cioè se m divide n = |G| allora esiste (almeno) un sottogruppo di ordine m.

Numero di gruppi commutativi

Sebbene non esista una formula che esprima, per ogni n, il numero di gruppi di ordine n, essa tuttavia esiste nel caso di un gruppo abeliano: infatti, se

$n=\prod_i p_i^{q_i}$

dove gli $p_i$ sono primi distinti, allora il numero di gruppi (non isomorfi tra loro) di ordine n è pari a

$\prod_i P(q_i)$

dove P(x) è la funzione di partizione; ovvero la numerosità dei gruppi non dipende dai fattori primi di n ma soltanto dai loro esponenti.

Voci correlate

• Struttura algebrica
• Glossario di teoria dei gruppi

Collegamenti esterni

• Abeliano - sapere.it

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