Gruppo abeliano

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Un gruppo abeliano, o gruppo commutativo, è un gruppo la cui operazione binaria gode della proprietà commutativa: il gruppo (G,*) è abeliano se

a*b = b*a \quad \forall a, b \in G.

Il nome deriva dal matematico norvegese Niels Henrik Abel.

I gruppi abeliani sono una generalizzazione dell'operazione aritmetica di somma sui numeri interi.

Un gruppo la cui operazione non è commutativa, viene chiamato gruppo non-abeliano o gruppo non-commutativo.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Tutti i gruppi ciclici sono abeliani, infatti, se a è l'elemento ciclico di G e

x; y \in G

allora

xy= a^{n}a^{m} = a^{n+m} = a^{m+n} = a^{m}a^{n} = yx.

In particolare, i numeri interi con l'usuale addizione sono un gruppo abeliano.

Ogni campo F dà origine in modo naturale a due gruppi abeliani: il gruppo additivo (F; +) se si considera solo la somma, il gruppo moltiplicativo (F \ {0}; ×) dato dagli elementi di F diversi da zero e considerando la sola operazione di prodotto. I numeri reali danno luogo a due gruppi abeliani nel modo suddetto.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Ogni gruppo abeliano G può essere dotato di una struttura di modulo sull'anello Z dei numeri interi nel seguente modo: per x \in G, l'elemento nx è definito come il multiplo n-simo di x rispetto all'operazione di gruppo, vale a dire: nx := x+x+...+x con n addendi, (-n)x := -(nx). Di fatto, i moduli su Z possono essere identificati con i gruppi abeliani.

Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale, si può perciò costruire il gruppo quoziente a partire da ogni sottogruppo. Sottogruppi, gruppi quoziente, prodotti e somme dirette di gruppi abeliani sono ancora gruppi abeliani.

Gli omomorfismi Hom(G,H) tra due gruppi abeliani G e H costituiscono a loro volta un gruppo abeliano definendo la somma come (f + g)(x) := f(x) + g(x), dove f, g : G \to H, x \in H.
Questa particolare definizione si può applicare solo ai gruppi abeliani, infatti, se H e G non fossero abeliani, avremmo:

(f*g)(x*y) := f(x*y)*g(x*y) = f(x)*f(y)*g(x)*g(y)

che differisce da

(f*g)(x)*(f*g)(y)

per l'ordine dei fattori, dimostrando che f*g non è un omomorfismo.

I gruppi abeliani, insieme con gli omomorfismi di gruppo, costituiscono una categoria che è una sottocategoria della categoria dei gruppi.

In un gruppo abeliano G si può invertire il teorema di Lagrange, cioè se m divide n = |G| allora esiste (almeno) un sottogruppo di ordine m.

Numero di gruppi commutativi[modifica | modifica wikitesto]

Sebbene non esista una formula che esprima, per ogni n, il numero di gruppi di ordine n, essa tuttavia esiste nel caso di un gruppo abeliano: infatti, se

 n=\prod_i p_i^{q_i}

dove gli p_i sono primi distinti, allora il numero di gruppi (non isomorfi tra loro) di ordine n è pari a

 \prod_i P(q_i)

dove P(x) è la funzione di partizione; ovvero la numerosità dei gruppi non dipende dai fattori primi di n ma soltanto dai loro esponenti.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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