Complesso di catene

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In matematica un complesso di catene è un oggetto algebrico usato soprattutto in topologia algebrica. Consiste in una successione di gruppi abeliani e di funzioni fra questi che soddisfa alcune proprietà, utili a studiare e modellizzare gli spazi topologici.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un complesso di catene è una successione di gruppi abeliani A_i indicizzati da numeri interi i e di omomorfismi

\partial_i:A_i \to A_{i-1}

definiti anch'essi per ogni intero i, tali che la composizione di due omomorfismi successivi abbia come risultato sempre l'omomorfismo banale. In altre parole:

\partial_{i-1} \circ \partial_i = 0

per ogni intero i.

Un complesso di catene può essere descritto globalmente nel modo seguente:

\cdots \to 
A_{n+1} \xrightarrow{\partial_{n+1}} A_n \xrightarrow{\partial_n} A_{n-1} \xrightarrow{\partial_{n-1}} A_{n-2} \to
 \cdots  \xrightarrow{\partial_2} A_1 \xrightarrow{\partial_1}
A_0 \xrightarrow{\partial_0} A_{-1} \xrightarrow{\partial_{-1}} A_{-2} \xrightarrow{\partial_{-2}} 
\cdots

Un complesso di cocatene è una successione di gruppi abeliani A^i e di omomorfismi

\partial^i:A^i \to A^{i+1}

tali che la composizione di due omomorfismi successivi abbia come risultato sempre l'omomorfismo banale:

\partial^{i+1} \circ \partial^i = 0

Un complesso di cocatene può essere descritto globalmente nel modo seguente:


\cdots \to 
A^{-2} \xrightarrow{\partial^{-2}}
A^{-1} \xrightarrow{\partial^{-1}}
A^0 \xrightarrow{\partial^0}
A^1 \xrightarrow{\partial^1}
A^2 \to \cdots \to
A^{n-1} \xrightarrow{\partial^{n-1}}
A^n \xrightarrow{\partial^n}
A^{n+1} \to \cdots.

Generalmente gli indici interi sono posizionati in basso (come pedici) per i complessi di catene, ed in alto (come apici) per i complessi di cocatene.

Omologia[modifica | modifica wikitesto]

In un complesso di catene, vale per ogni i la relazione

\operatorname{im}\, \partial_i \subset \ker \partial_{i-1}.

L'omologia del complesso è quindi definita come il gruppo quoziente

H_i = \ker \partial_{i-1} / \operatorname{im}\, \partial_i

che è definito per ogni intero i. Analogamente si definisce una coomologia H^i a partire da un complesso di cocatene.

Il complesso di (co-)catene è detto aciclico se l'omologia è banale per ogni i. Un complesso di (co-)catene aciclico è una successione esatta.

Biografia[modifica | modifica wikitesto]