Teorema del sollevamento dell'omotopia

Il teorema di sollevamento dell'omotopia è un teorema di matematica, e più precisamente di topologia, che collega le nozioni di rivestimento e di omotopia.

Definizione di sollevamento

Sia $p: E \to X$ un rivestimento e $f : Y \to X$ un'applicazione continua fra spazi topologici. Un sollevamento di $f$ è una applicazione continua $g:Y\to E$ tale che:

$f = p\circ g.$

Enunciato del teorema

Siano dati un rivestimento fra spazi topologici

$p:E\to X\,\!$

e due funzioni continue

$F: I^2 \to X, \quad a:I \to E$

due applicazioni continue definite sull'intervallo $I =[0,1]$ e sul quadrato $I^2$, tali che $p(a(t)) = F(t, 0)$ per ogni $t$.

Allora esiste, ed è unico, un sollevamento

$G: I^2 \to E\,\!$

di $F$ tale che $G(t, 0) = a(t)$ per ogni $t$.

Dimostrazione

Basta dimostrare l'esistenza: l'unicità segue dalla connessione di $I^2$ e dal Teorema di unicità del sollevamento.

La costruzione del sollevamento $G$ è invece fatta sfruttando la semplice connessione e la compattezza di $I^2$. Grazie alla compattezza esiste un $N > 0$ tale che ogni quadratino

$Q_{i,j} = \left[\frac iN,\frac{i+1}N\right]\times \left[\frac jN,\frac{j+1}N\right]$

contenuto in $I^2$ (quindi con $i<N, j<M$) ha immagine $F(Q_{i,j})$ contenuta in un aperto uniformemente rivestito. Quindi la funzione $F$, ristretta al quadratino $Q_{i,j}$, ammette un sollevamento. I quadratini $Q_{i,j}$ ricoprono il quadrato $I^2$: grazie alla semplice connessione, tutti questi sollevamenti possono quindi essere "incollati" coerentemente in modo da formare un sollevamento $G$ con le proprietà richieste.

Corollario

Siano $p: E \to X$ un rivestimento e $f : S^2 \to X$ un'applicazione continua. Per ogni coppia di punti y ∈ S², e ∈ p⁻¹(f(y)) esiste un unico sollevamento g : S² → E dell'applicazione f tale che g(y) = e.

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