Spazio totalmente limitato

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In matematica, uno spazio metrico si definisce totalmente limitato se, fissato un raggio arbitrario, è possibile ricoprirlo con un numero finito di palle di quel raggio.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Uno spazio metrico S si dice totalmente limitato se per ogni raggio \varepsilon > 0 esiste una collezione finita di palle B_\varepsilon^1 ,\, B_\varepsilon^2 ,\, \ldots ,\, B_\varepsilon^n tali che:

\bigcup_{i=1}^n B_\varepsilon^i = S

Spazi limitati e totalmente limitati[modifica | modifica wikitesto]

La nozione di spazio totalmente limitato è molto simile a quella di spazio limitato, ma è in realtà più forte: è infatti facile dimostrare che ogni spazio totalmente limitato è limitato[1]. D'altro canto, esistono esempi di insiemi limitati che non sono totalmente limitati; ad esempio, considerando il piano \mathbb{R}^2 con la metrica discreta:


\begin{matrix}
d: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}^+ \\
   (P_1, P_2) & \mapsto & \left\{ \begin{matrix} 0 & (P_1 = P_2) \\ 1 & (P_1 \neq P_2) \end{matrix} \right. 
\end{matrix}

si ha che per qualunque raggio \varepsilon < 1, occorrono infinite palle per ricoprire il piano, in quanto ogni punto dista 1 da tutti gli altri punti. Esistono tuttavia molti casi in cui le due nozioni coincidono, ad esempio uno spazio euclideo è totalmente limitato se e solo se è limitato.

Relazioni con gli spazi compatti[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi spazio compatto.

Uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato. Questa proprietà è una estensione del teorema di Heine-Borel, che caratterizza gli spazi euclidei compatti. È inoltre possibile dimostrare che uno spazio è totalmente limitato se e solo se lo è il suo completamento; sugli spazi euclidei questo equivale a dire che uno spazio è limitato se e solo se lo è la sua chiusura. Dalle due precedenti proprietà segue che uno spazio è totalmente limitato se e solo se il suo completamento è compatto: quest'ultima caratterizzazione può venire considerata come definizione di spazio totalmente limitato.

Estensioni a spazi topologici[modifica | modifica wikitesto]

La definizione sopra data può essere estesa anche a spazi non dotati di una distanza, ma di una più generica struttura di spazio topologico.

Un sottoinsieme S \subseteq X di uno spazio vettoriale topologico o un gruppo abeliano topologico è detto totalmente limitato se, per ogni intorno E\ dell'elemento neutro 0 \in X, esiste un ricoprimento finito formato da traslazioni di sottoinsiemi di E\ . Definire l'intorno E\ equivale a fissare la "dimensione" degli insiemi che formano il ricoprimento, "dimensione" che non è alterata traslando l'insieme stesso. In simboli si può scrivere:

\forall E \subseteq S :\, 0 \in E ,\, \exists x_1 ,\, x_2 ,\, \ldots ,\, x_n \in X :\, S \subseteq \bigcup_{i=1}^n \left( E + x_i \right)

Se X\ non è abeliano, è possibile definire due nozioni separate di spazio totalmente limitato a sinistra o a destra, sostituendo nella definizione sopra E + x_i rispettivamente con le traslazioni sinistre e destre x_i E e E x_i.

Infine è possibile estendere la definizione per qualunque struttura che possieda la definizione di compattezza e completezza, usando la caratterizzazione definita nel paragrafo precedente e definendo pertanto gli spazi totalmente limitati come spazi il cui completamento è compatto. Se vale l'assioma della scelta, questa definizione è anche equivalente a quella di spazio precompatto.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ È sufficiente considerare una sfera di raggio \varepsilon n, che contenga ogni singola sfera del ricoprimento

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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