Teorema di Kneser-Milnor

In matematica, e più precisamente in topologia, il teorema di Kneser Milnor è un teorema centrale nello studio delle 3-varietà. L'enunciato è analogo al teorema fondamentale dell'aritmetica, con "numero intero" e "prodotto" sostituiti da "3-varietà" e "somma connessa". La dimostrazione è dovuta ai matematici Hellmuth Kneser e John Milnor.

Enunciato

Il teorema di Kneser-Milnor asserisce il fatto seguente.

Ogni 3-varietà compatta orientabile $M$ diversa dalla sfera $S^3$ può essere ottenuta come somma connessa di 3-varietà prime $N_1,\ldots,N_k$ diverse da $S^3$:

$M = N_1\#\ldots\# N_k.$

Le $k$ varietà prime $N_i$ sono inoltre univocamente determinate da $M$.

L'enunciato ha la stessa forma del teorema fondamentale dell'aritmetica. La sfera $S^3$ gioca il ruolo del numero 1 per gli interi, cioè dell'elemento neutro rispetto all'operazione di somma connessa.

Dimostrazione

L'esistenza di una decomposizione in fattori primi è dovuta a Hellmuth Kneser, che la dimostrò negli anni trenta introducendo uno strumento che è stato successivamente ampiamente usato per le 3-varietà: le superfici normali.

L'unicità è stata quindi dimostrata da John Milnor nel dopoguerra.

Voci correlate

• Somma connessa
• 3-varietà irriducibile

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