Lemma di Urysohn

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Il Lemma di Urysohn è un teorema di matematica, e più precisamente di topologia: è spesso considerato il primo teorema della topologia generale avente una dimostrazione non banale. Il lemma prende il nome dal matematico Urysohn tra i fondatori della scuola moscovita di topologia.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema afferma che uno spazio normale è completamente normale. In altre parole, se X è uno spazio normale,

Per ogni coppia di chiusi disgiunti (E,F) di X, esiste una funzione continua

 f:X\to [0,1]

a valori nell'intervallo I = [0,1], che valga 0 su tutto E e 1 su F.

Informalmente, il teorema asserisce che in uno spazio normale gli insiemi chiusi possono essere "separati" tramite una funzione continua a valori in un intervallo reale.

Osservazione[modifica | modifica wikitesto]

Il lemma può essere formulato sostituendo i chiusi con due insiemi qualsiasi A e B, esigendo che le rispettive chiusure non abbiano punti in comune. Senza questa condizione non può esistere una funzione separatrice continua (se un punto x è aderente ad A allora un'ipotetica funzione separatrice, per continuità, dovrà valere 0 in x. Se x è aderente a B dovrà valervi 1, generando una contraddizione). Questa formulazione, apparentemente più restrittiva è invece perfettamente equivalente: sarà infatti sufficiente applicare il lemma alle due chiusure.

Funzioni continue sugli spazi normali[modifica | modifica wikitesto]

Gli spazi normali presentano quindi la caratteristica di avere una dotazione molto ricca di funzioni reali continue. Questa ricchezza è ancora meglio evidenziata da un suo corollario, il Teorema di Tietze, il quale afferma la prolungabilità di qualsiasi funzione reale definita in un qualsiasi sottoinsieme dello spazio.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Ai fini della dimostrazione riesce utile la seguente

Osservazione preliminare[modifica | modifica wikitesto]

La condizione perché uno spazio sia normale può essere formulata così:

dati un chiuso F e un aperto U che lo contiene, esiste sempre un aperto V contenente F la cui chiusura è contenuta in U.

Indicando con Vc la chiusura di V, deve quindi aversi FVV^cU.
Allo stesso modo andrà ricercata una funzione continua : f:X\to [0,1] a valori in [0,1], che valga 0 su tutto E e 1 su F.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Uryshon 0 Step.PNG
Uryshon FinalStep.PNG

A discapito della profondità della tesi, la dimostrazione del teorema si rivela estremamente semplice ed intuitiva. In molti manuali, tuttavia, la semplicità viene sacrificata ad un infelice eccesso di notazione fino a renderla letteralmente oscura.

L'idea di fondo consiste nell'immaginare gli insiemi F e V su cui costruire una funzione come in figura 2.

Figura 1
Uryshon Second Step.PNG
Uryshon Third Step.PNG

Per arrivare al risultato finale si procede con delle funzioni, per così dire, a gradoni. La prima di esse sarà:

f_1(x) = 
\left\{\begin{matrix} 
1 &\mbox{se}\ x \in F \\
0 &\mbox{se}\ x \notin F
\end{matrix}\right.

Si procede con un raffinamento della funzione: Si trova un aperto V tale che la chiusura  V^c \subseteq U
Allora si definisce

f_2(x) = 
\left\{\begin{matrix} 
1 &\mbox{se}\ x \in F \\
\frac{1}{2} &\mbox{se}\ x \in V^c \setminus F\\
0 &\mbox{se}\ x \notin V^c \\
\end{matrix}\right.


L'intersezione fra  \mathbb Q e l'intervallo [0,1], sia detta S={r0, r1,..., rn,...}, è numerabile perché  \mathbb Q , insieme dei numeri razionali, lo è. Costruiremo una successione crescente, indicizzata da S, di aperti tra A e il complementare di B, che godrà di determinate proprietà. Posto innanzitutto r0=0 e r1=1, definisco per ogni numero naturale n l'insieme Sn = {r0,...,rn}, cosicché risulta che S è l'unione di tutti gli Sn.


Siccome A e B sono due chiusi disgiunti, allora A è un chiuso contenuto in quell'aperto che è il complementare di B: dunque, per la condizione equivalente alla normalità, esiste un aperto W che contiene A e la cui chiusura è contenuta nel complementare di B. Ponendo allora V(0):=W e V(1) uguale al complementare di B, si ha che: AV(0)⊆ cl(V(0))⊆V(1). Ciò significa che per n=1, cioè per S1, ho costruito una successione di aperti tale che:

  • (i)n cl(V(ri))V(rk) allorquando ri<rk, per ogni i,k<n;
  • (ii) AV(0), V(1)=X\B.

Supponendo poi di aver definito una tale successione fino all'n-esimo elemento, è facile mostrare che allora si può costruirla anche fino all'elemento di indice n+1. Essendo Sn finito esistono infatti in esso due razionali, siano detti rl e rm, che sono più vicini a rn+1 di qualunque altro in Sn, e tali che rl<rn+1<rm. Ad essi sono associati due aperti, V(rl) e V(rm), tali che la chiusura del primo è contenuta nel secondo: per normalità, esiste un aperto W che contiene la chiusura di V(rl) e la cui chiusura è contenuta in V(rm). Ponendo V(rn+1)=W, verifico facilmente che anche per Sn+1 sono verificate le proprietà (i)n+1 e (ii). In definitiva, per il principio di induzione, essendo S numerabile, posso concludere che esiste una successione {V(r)}r∈S, che soddisfa le proprietà (i) e (ii).

Posso considerare ora una funzione f così definita:

  • f(x)=1, se x appartiene a B;
  • f(x)=inf{r∈S|x∈V(r)}, se x appartiene a V(1), ossia non appartiene a B.

Tale funzione soddisfa i requisiti della definizione di completa normalità. Infatti, per le proprietà (i) e (ii), essa vale 1 su tutto B, mentre vale 0 su tutto A: essendo A incluso in V(0), e dunque in ogni altro aperto della successione {V(r)}r∈S, l'estremo inferiore di quell'insieme è proprio 0.

Infine, la funzione f è continua: per vederlo è sufficiente mostrare che le sue controimmagini di aperti di base della topologia indotta di [0,1] (cioè di intervalli del tipo [0,a[ e ]b,1]) sono aperti:

  • se f(x)<a, allora inf{r∈S|x∈V(r)}<a, perciò

esiste un r<a in S tale che x non è contenuto in V(r), dunque esiste pure un r>a tale che x non è contenuto nella chiusura di V(r'). Pertanto l'antiimmagine tramite f di [0,a[ sarà l'unione, al variare di r' in S, degli aperti X\cl(V(r')), che è un aperto;

  • se invece f(x)>b, allora inf{r∈S|x∈V(r)}>b, perciò esiste un r>b tale che x è contenuto in V(r). Pertanto l'antiimmagine tramite f di ]b,1] sarà l'unione, al varriare di r in S degli aperti V(r), che è ovviamente un aperto.

In conclusione, se X è normale, allora per ogni coppia di chiusi disgiunti (A,B) esiste una funzione continua f che vale 0 su A e 1 su B, cioè X è completamente normale.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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