Teorema di estensione di Tietze

Il Teorema di Tietze è un teorema di topologia generale che, sotto certe ipotesi, afferma la possibilità di prolungare qualsiasi funzione a valori reali, continua, definita su un sottoinsieme di uno spazio topologico normale, ad una funzione continua definita sull'intero spazio.

Alcune considerazioni

Gli spazi topologici che godono di tale importante proprietà sono quindi gli spazi normali. Si tratta di spazi di cui è già nota, grazie al lemma di Urysohn, la ricchezza di funzioni reali continue non banali. Con tali funzioni è possibile separare qualsiasi coppia di insiemi chiusi e disgiunti mediante opportune funzioni reali continue. Per quanto profonda, una simile proprietà ci permette apparentemente di costruire solo funzioni molto rudimentali, costanti su ciascuno dei due insiemi chiusi da separare.

Il teorema di Tietze ci assicura invece che, proprio grazie a tali rudimentali funzioni, è possibile inferire l'esistenza di un ricchissimo bagaglio di funzioni reali continue, costruite semplicemente a partire da una qualsiasi funzione continue definita su un sottospazio chiuso.

Enunciato

Il teorema afferma che ogni funzione continua, definita su un sottospazio chiuso di uno spazio topologico normale, a valori in un intervallo [-1,1], è prolungabile a una funzione reale continua a valori nello stesso intervallo. In simboli:

Se $f: C\to [-1, 1]$ è continua, con $C\subseteq E$ chiuso e $E$ normale, allora esiste $g:E\to [-1, 1]$ continua e tale che $g(x) = f(x)$ per ogni $x\in C$.

Prima di passare alla dimostrazione ci serve il seguente risultato preliminare che assicura l'esistenza di estensioni, per così dire, approssimate.

Lemma preliminare

Siano E e C definiti come sopra e $h: C\to [-b, b]$ continua, con $C \subseteq E$ chiuso; esiste allora $\phi :E\to [-b/3, +b/3]$ continua e tale che $|h(x) - \phi(x)| \leq (2/3)b$ per ogni $x \in C$.

Dimostrazione

Si considerano i due insiemi disgiunti $A = \{t: h(t)\leq -(1/3)b \}$ e $B = \{t: h(t)\geq (1/3)b \}$. Si tratta di insiemi chiusi, in quanto immagini inverse di chiusi tramite una funzione continua.

Il lemma di Urysohn assicura l'esistenza di una funzione continua $\phi:E \to [-b/3 +b/3]$ che vale $-b/3$ su $A$ e $b/3$ su $B$. È immediato verificare che essa soddisfa la disuguaglianza richiesta.

Dimostrazione del teorema

La dimostrazione è un'applicazione ricorsiva del lemma preliminare.

Iniziamo a porre $h = f$ (e, di conseguenza, $b = 1$). Troviamo una $\phi_0: E \to [-1/3, +1/3]$ continua tale che $|f(x) - \phi_0(x)| \leq 2/3$ su E.

Si passa poi a considerare la funzione $\ h = f - \phi_0$ per la quale, essendo $|h| \leq 2/3$ dovremo porre $b = 2/3$. Si trova allora una funzione $\phi_1: E \to [-2/3^2, 2/3^2]$ tale che $|h(x)- \phi_1(x)| = |f(x) - \phi_0(x)- \phi_1(x)| \leq (2/3)^2$ su $E$.

Il passo compiuto si reitera ancora e, procedendo per induzione, si giunge a dimostrare l'esistenza di una successione di funzioni a valori reali e continue $\phi_n, n \in \N_0$, tali che, per ogni indice n, si abbia:

$|\phi_n(x))| \leq (1/3)(2/3)^n \leq (2/3)^n x \in E$

e

$|f(c) - (\phi_1(c) + \phi_2(c) + ... + \phi_n(c))| \leq (2/3)^{n+1}, c \in C$

Poniamo $g_n(x) = \phi_0(x) + \phi_1(x) + ... + \phi_n(x))$

si avrà che ciascun termine della serie di funzioni $g_n$ è dominata dalla successione $(2/3)^n$. Questo assicura la convergenza uniforme ad una funzione continua g (si veda Serie di funzioni - convergenza totale).

Inoltre la disuguaglianza $|f(c) - g_n(c)| \leq (2/3)^{n+1}$ assicura che la serie di funzioni $g_n$ converge uniformemente a $f$ su tutto $C$.

Quindi g costituisce l'estensione continua richiesta dalla tesi.

Un'osservazione scontata

La richiesta che l'insieme di definizione della funzione di partenza sia chiuso è connaturata al problema stesso. È noto, da esempi presi dall'analisi elementare, che non è possibile garantire, in generale, il prolungamento continuo di funzioni definite su insiemi che non siano chiusi. Si pensi ad esempio alla funzione $sin(1/x)$ continua sui reali diversi da 0 ma non estensibile nello zero.

Voci correlate

• Lemma di Urysohn
• Spazio normale
• Spazio completamente normale
• Assiomi di separazione
• Partizione dell'unità

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica