Insieme chiuso

In matematica, un sottoinsieme $S$ di un qualsiasi spazio metrico $(X,d)$ si dice chiuso se contiene il suo interno e la sua frontiera.

Ad esempio: dentro alla retta reale l'intervallo [0, 1], la semiretta formata da tutti i numeri maggiori o uguali a zero e il sottoinsieme dato dai numeri interi sono chiusi; non lo sono invece l'intervallo (0, 1] (perché non contiene il punto di frontiera 0), e il sottoinsieme dato dai numeri razionali (perché sono densi nella retta reale).

Si può introdurre una definizione di insieme chiuso anche in un più astratto spazio topologico. Diciamo quindi che un sottoinsieme $S$ di uno spazio topologico $(X,\tau)$ è chiuso per definizione se il suo complementare è aperto. Le due definizioni coincidono sugli spazi metrici.

Gli insiemi chiusi hanno quindi le seguenti proprietà, "complementari" a quelle degli insiemi aperti, valide in un qualsiasi spazio topologico:

1. l'unione di un numero finito di chiusi è ancora un chiuso;
2. l'intersezione di una collezione arbitraria di chiusi è ancora un chiuso;
3. l'insieme X e l'insieme vuoto sono chiusi.

Si possono usare queste proprietà come assiomi per definire una topologia su X a partire dai chiusi, che coincide con quella generata nel modo usuale dalla famiglia $\Tau$ degli aperti complementari.

Esempi

Alcuni sottospazi chiusi della retta reale:

• Un numero finito di punti.
• Un numero finito di intervalli chiusi [a, b].
• L'insieme di Cantor.

Altri esempi:

• Un qualsiasi sottospazio vettoriale dello spazio euclideo.
• Un cerchio (con contorno) nel piano, una sfera (con la sua superficie) nello spazio e più in generale un'ipersfera (con il suo contorno) in uno spazio ad n-dimensioni. Più in generale l'insieme

  $X = \left \{ x \in S : d \left(x,O\right) \le R\right\}$

  dove O è un punto dello spazio ed R un numero reale, è un insieme chiuso.

Proprietà

• Un sottoinsieme chiuso di un insieme compatto è anch'esso compatto.
• La frontiera di un insieme aperto è chiusa.
• In uno spazio metrico (ad esempio euclideo), i punti sono chiusi.
• La controimmagine di un chiuso attraverso una funzione continua tra due spazi topologici è chiusa.

Voci correlate

• Chiusura di un insieme
• Insieme localmente chiuso
• Insieme denso
• Insieme aperto
• Spazio compatto

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