Circonferenza

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Una circonferenza

Nella geometria, una circonferenza è quel luogo geometrico costituito da punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza da qualsiasi punto della circonferenza dal centro si definisce raggio.

Il raggio dunque è un segmento che è costante e non subisce alcuna variazione di misura "collegandolo" dal centro a un qualsiasi punto della circonferenza.

Le circonferenze sono curve chiuse semplici, che dividono il piano in una superficie interna ed una esterna (infinita). La superficie del piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferenza stessa, prende il nome di cerchio. Una circonferenza è inoltre un particolare caso di simmetria centrale, dal momento che tutti i punti della circonferenza sono equidistanti dal centro della stessa. La formula per trovare la lunghezza della circonferenza è:

\mathrm{Crf}=2 \cdot \pi \cdot r

oppure

\mathrm{Crf}=d \cdot \pi

Dove:

Circonferenza nel piano cartesiano[modifica | modifica wikitesto]

In geometria analitica una circonferenza in un piano può essere descritta utilmente sia mediante le coordinate cartesiane, sia mediante le coordinate polari, sia in forma parametrica.

Equazione cartesiana della circonferenza[modifica | modifica wikitesto]

In un sistema di assi cartesiani Oxy, la circonferenza di centro (\alpha, \beta) e raggio r è il luogo dei punti caratterizzati dall'equazione:

(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2,

cioè è l'insieme di tutti e soli i punti che distano r da (\alpha, \beta).

All'equazione più generale si dà spesso la forma canonica:

x^2 + y^2 + ax + by + c = 0,

collegata alla precedente dalle seguenti eguaglianze:

-\frac{a}{2}=\alpha, equivalente a: a=-2\alpha

-\frac{b}{2}=\beta, equivalente a: b=-2\beta
c=\alpha^2+\beta^2-r^2, o equivalentemente \sqrt {\alpha^2 + \beta^2 - c}= r .

Da ciò segue che se \alpha^2 + \beta^2 - c=0 la circonferenza degenera in un solo punto, (\alpha,\beta), se \alpha^2 + \beta^2 - c<0 il luogo geometrico (nel piano cartesiano reale) descritto dall'equazione non è una circonferenza, ma l'insieme vuoto.

Se il centro della circonferenza è l'origine (0, 0), l'equazione diventa:

x^2 + y^2 = r^2.

Se la circonferenza passa per l'origine (0, 0), c=0 e l'equazione diventa:

x^2 + y^2 + ax + by = 0.

Se la circonferenza ha centro sull'asse x, b=0 e l'equazione diventa:

x^2 + y^2 + ax + c = 0.

Se la circonferenza ha centro sull'asse y, a=0 e l'equazione diventa:

x^2 + y^2 + by + c = 0.

Equazione in coordinate polari[modifica | modifica wikitesto]

Nelle coordinate polari \rho e \theta l'equazione della circonferenza con centro nell'origine e raggio r è evidentemente data dall'equazione:

\rho = r~.

Equazione parametrica[modifica | modifica wikitesto]

Una circonferenza C il cui centro ha coordinate (x_0, y_0) e raggio R viene descritta con la seguente forma parametrica:


C:\left\{
\begin{matrix} 
x=x_0 + R \, \cos(t)&\\
                   &t\in[0; 2\pi]\\
y=y_0 + R \ \sin(t)&
\end{matrix}\right.

Problemi classici della circonferenza nel piano cartesiano[modifica | modifica wikitesto]

Circonferenza di cui è noto il centro e il raggio[modifica | modifica wikitesto]

Basta usare l'equazione (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2. A questo problema sono riconducibili anche i seguenti

  1. è noto un diametro della circonferenza: il diametro è il doppio del raggio e il centro è il punto medio del diametro
  2. sono noti due punti della circonferenza e una retta su cui sta il centro: l'asse di una corda passa sempre per il centro della circonferenza

Circonferenza per tre punti[modifica | modifica wikitesto]

Metodo geometrico Basta ricordare che l'asse di una corda passa sempre per il centro della circonferenza. La procedura risolutiva è la seguente:

  • si costruiscono gli assi di due corde
  • si fa il sistema tra le equazioni dei due assi
  • la soluzione del sistema è il centro della circonferenza
  • a questo punto si può calcolare il raggio

Metodo algebrico Il problema ha tre incognite: i coefficienti a,b,c dell'equazione canonica della circonferenza x^2+y^2+ax+by+c=0. Si impone il passaggio per i tre punti dati dal problema e si ottiene un sistema lineare in tre equazioni e tre incognite a,b,c.

Rette tangenti condotte da un punto esterno[modifica | modifica wikitesto]

Metodo geometrico Basta ricordare che la retta tangente ha distanza dal centro pari al raggio. La procedura risolutiva è la seguente:

  • si costruisce un fascio proprio di rette con centro il punto esterno
  • si impone che la distanza delle rette del fascio dal centro della circonferenza sia uguale al raggio

Metodo algebrico Basta ricordare che in un sistema di secondo grado (retta-circonferenza) la condizione di tangenza si ha quando il sistema ammette due soluzioni reali e coincidenti, cioè quando l'equazione associata di secondo grado al sistema ha \Delta=0.

Retta tangente su un punto della circonferenza[modifica | modifica wikitesto]

Questo problema è risolto ricordando che la retta tangente alla circonferenza è perpendicolare al raggio nel suo punto di tangenza. Quindi, salvo casi particolari in cui la tangente è parallela all'asse y, la procedura risolutiva è la seguente:

  • si calcola il coefficiente angolare della retta del raggio che ha per estremo il punto di tangenza
  • si calcola il coefficiente angolare della perpendicolare a tale raggio
  • e quindi si calcola l'equazione della retta perpendicolare passante per il punto di tangenza

Alternativamente è sufficiente usare la formula di sdoppiamento della circonferenza, così l'equazione della retta tangente alla circonferenza x^2+y^2+ax+by+c=0 nel punto (x_0,y_0) è semplicemente l'equazione

xx_0+yy_0+a\frac{x+x_0}{2}+b\frac{y+y_0}{2}+c=0

dove x_0,y_0,a,b,c sono dati.

Circonferenza nel piano complesso[modifica | modifica wikitesto]

Nel piano complesso una circonferenza di centro l'origine e raggio R può essere espressa dall'equazione parametrica

z(t)=R e^{it}

per t \in [0, 2\pi]. Per rendersi conto che tale formula descrive una circonferenza è sufficiente considerare le equazioni parametriche descritte sopra e confrontarle con la formula di Eulero.

Circonferenza nello spazio[modifica | modifica wikitesto]

È possibile descrivere una circonferenza nello spazio come intersezione di una sfera S con un piano \pi. Per calcolare il raggio di una circonferenza descritta nel seguente modo si può utilizzare il teorema di Pitagora:

  • si calcola la distanza d(\pi,P) del piano \pi dal centro della sfera S
  • detto R il raggio della sfera S, il raggio r_c della circonferenza vale

r_c=\sqrt{R^2-d^2(\pi,P)}.

Esempio

La circonferenza


C:\left\{
\begin{matrix} 
x+y+z=1\\
x^2+y^2+z^2=4\\
\end{matrix}\right.

è l'intersezione del piano

\pi:x+y+z=1 con la sfera S di centro origine e raggio 2. La distanza del centro della sfera dal piano vale \frac{1}{\sqrt{3}}. La distanza del centro della sfera dal piano è minore del raggio della sfera. Quindi il piano \pi interseca la sfera S. A questo punto il raggio r_c della circonferenza si calcola utilizzando teorema di Pitagora:

r_c=\sqrt{4-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{11}{3}}

Componenti della circonferenza e loro proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Tutte le circonferenze sono simili; di conseguenza, la circonferenza è proporzionale al raggio:

Lunghezza della circonferenza =2 \pi r \, \, \,

Una retta che incontra una circonferenza in due punti si chiama secante, mentre una che tocca la circonferenza in un solo punto, chiamato punto di tangenza, si chiama tangente. Il raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza è sempre perpendicolare alla tangente. Presi due punti sulla circonferenza, questi dividono la circonferenza in due archi. Se i due archi sono della stessa lunghezza si chiamano semicirconferenze. Il segmento che congiunge due punti sulla circonferenza si chiama corda. La corda di lunghezza massima, che passa per il centro, si chiama diametro, ed equivale al doppio del raggio.

Per due punti passano infinite circonferenze, ed il luogo dei loro centri è l'asse del segmento che congiunge i due punti. La perpendicolare condotta dal centro di una circonferenza a una sua corda la divide a metà. Due corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro. Se da un punto P, esterno a una circonferenza di centro O si tracciano le rette r e s a essa tangenti, i segmenti di tangente compresi tra P e i punti di contatto con la circonferenza sono congruenti e il segmento OP è bisettrice dell'angolo rs di vertice P.

Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza, il cui centro coincide con l'intersezione degli assi dei segmenti che congiungono i punti. L'equazione della circonferenza passante per i punti (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) si può esprimere nel seguente modo:


\det\begin{bmatrix}
x   & y   & x^2 + y^2 & 1 \\
x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\
x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\
x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\
\end{bmatrix} = 0.

dove l'espressione a sinistra è il determinante della matrice.

Asse radicale[modifica | modifica wikitesto]

Date due circonferenze che si intersecano, si definisce asse radicale[1] la retta passante per i due punti in comune (punti base). Con semplici calcoli, partendo dall'equazione canonica e indicando con apici i coefficienti della seconda circonferenza, si ottiene che questa retta ha equazione (a-a')x+(b-b')y+(c-c')=0 ed è perpendicolare alla retta che congiunge i centri delle circonferenze. La definizione si estende facilmente al caso di circonferenze tangenti, chiamando asse radicale la retta tangente alle due circonferenze nel punto comune. Questo concetto può essere ulteriormente generalizzato considerando i fasci di circonferenze. Approccio che, tra l'altro, permette di trattare unitariamente i suddetti casi[2].

Topologia[modifica | modifica wikitesto]

Una circonferenza topologica si ottiene considerando un intervallo chiuso sulla retta reale e dotandolo della topologia quoziente che si ha identificando gli estremi.

La circonferenza è dotata di una naturale struttura di varietà differenziabile di dimensione 1, è uno spazio compatto e connesso ma non semplicemente connesso, infatti il suo gruppo fondamentale è il gruppo Z dei numeri interi.

Struttura di gruppo[modifica | modifica wikitesto]

La circonferenza è naturalmente dotata della struttura algebrica di gruppo: possiamo identificare ogni punto della circonferenza con l'angolo che esso forma rispetto ad una semiretta prefissata (in genere l'asse delle ascisse in un sistema di riferimento cartesiano) e definire la somma di due punti individuati dagli angoli \alpha e \beta come il punto individuato dall'angolo \alpha + \beta. È immediato verificare che la circonferenza dotata di questa operazione verifica le proprietà di un gruppo e che come gruppo è isomorfo al gruppo quoziente R/Z.

La circonferenza è un esempio di gruppo di Lie.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Definizioni su sito Politecnico di Torino
  2. ^ Si veda il paragrafo Asse radicale e punti di intersezione della voce sui Fasci di Circonferenze

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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