Circonferenza

Nella geometria, una circonferenza è quel luogo geometrico costituito da punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza da qualsiasi punto della circonferenza dal centro si definisce raggio.

Le circonferenze sono chiuse semplici, che dividono il piano in una superficie interna ed una esterna (infinita). La superficie del piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferenza stessa, prende il nome di cerchio.

La formula per trovare la lunghezza della circonferenza è:

$\mathrm{Crf}=2 \cdot \pi \cdot r$

o

$\mathrm{Crf}=d \cdot \pi$

Dove:

• Crf sta per circonferenza;
• π sta per pi greco (π = 3,14159265...);
• r sta per raggio del cerchio;
• d sta per diametro del cerchio.

Circonferenza nel piano cartesiano

In geometria analitica una circonferenza in un piano può essere descritta utilmente sia mediante le coordinate cartesiane, sia mediante le coordinate polari, sia in forma parametrica.

Equazione cartesiana della circonferenza

In un sistema di assi cartesiani Oxy, la circonferenza di centro (α,β) e raggio r è il luogo dei punti caratterizzati dall'equazione:

(x − α)² + (y − β)² = r²,

cioè è l'insieme di tutti e soli i punti che distano r da (α,β).

All'equazione più generale si dà spesso la forma canonica:

x² + y² + ax + by + c = 0,

collegata alla precedente dalle seguenti eguaglianze:

$-\frac{a}{2}=\alpha$, equivalente a: a = − 2α

$-\frac{b}{2}=\beta$, equivalente a: b = − 2β

c = α² + β² − r², o equivalentemente $\sqrt {\alpha^2 + \beta^2 - c}= r$.

Da ciò segue che se α² + β² − c = 0 la circonferenza degenera in un solo punto, (α,β), se α² + β² − c < 0 il luogo geometrico (nel piano cartesiano reale) descritto dall'equazione non è una circonferenza, ma l'insieme vuoto.

Se il centro della circonferenza è l'origine (0,0), l'equazione diventa:

x² + y² = r².

La circonferenza con centro nell'origine e raggio unitario è chiamata circonferenza goniometrica.

Asse radicale

Date due o più circonferenze, è possibile trovare il loro asse radicale, ossia la retta passante per gli eventuali punti in comune (punti base), intersecando le due equazioni ed utilizzando in seguito il metodo di riduzione, per eliminare i termini al quadrato. La retta che congiunge i centri delle circonferenze è perpendicolare all'asse radicale.

Equazione in coordinate polari

Nelle coordinate polari ρ e θ l'equazione della circonferenza con centro nell'origine e raggio r è evidentemente data dall'equazione:

$\rho = r~.$

Equazione parametrica

Una circonferenza C il cui centro ha coordinate (x₀,y₀) e raggio R viene descritta con la seguente forma parametrica:

$C:\left\{ \begin{matrix} x=x_0 + R \, \cos(t)&\\ &t\in[0; 2\pi]\\ y=y_0 + R \ \sin(t)& \end{matrix}\right.$

Circonferenza nel piano complesso

Nel piano complesso una circonferenza di centro l'origine e raggio R può essere espressa dall'equazione parametrica

z(t) = Re^it

per $t \in [0, 2\pi]$. Per rendersi conto che tale formula descrive una circonferenza è sufficiente considerare le equazioni parametriche descritte sopra e confrontarle con la formula di Eulero.

Circonferenza nello spazio

È possibile descrivere una circonferenza nello spazio come intersezione di una sfera S con un piano π. Per calcolare il raggio di una circonferenza descritta nel seguente modo si può utilizzare il teorema di Pitagora:

• si calcola la distanza d(π,P) del piano π dal centro della sfera S
• detto R il raggio della sfera S, il raggio r_c della circonferenza vale

$r_c=\sqrt{R^2-d^2(\pi,P)}$.

Esempio

La circonferenza

$C:\left\{ \begin{matrix} x+y+z=1\\ x^2+y^2+z^2=4\\ \end{matrix}\right.$

è l'intersezione del piano

π:x + y + z = 1 con la sfera S di centro origine e raggio 2. La distanza del centro della sfera dal piano vale $\frac{1}{\sqrt{3}}$. La distanza del centro della sfera dal piano è minore del raggio della sfera. Quindi il piano π interseca la sfera S. A questo punto il raggio r_c della circonferenza si calcola utilizzando teorema di Pitagora:

$r_c=\sqrt{4-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{11}{3}}$

Componenti della circonferenza e loro proprietà

Tutte le circonferenze sono simili; di conseguenza, la circonferenza è proporzionale al raggio:

Lunghezza della circonferenza =$2 \pi r \, \, \,$

Una retta che incontra una circonferenza in due punti si chiama secante, mentre una che tocca la circonferenza in un solo punto, chiamato punto di tangenza, si chiama tangente. Il raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza è sempre perpendicolare alla tangente. Presi due punti sulla circonferenza, questi dividono la circonferenza in due archi. Se i due archi sono della stessa lunghezza si chiamano semicirconferenze. Il segmento che congiunge due punti sulla circonferenza si chiama corda. La corda di lunghezza massima, che passa per il centro, si chiama diametro, ed equivale al doppio del raggio.

Per due punti passano infinite circonferenze, ed il luogo dei loro centri è l'asse del segmento che congiunge i due punti. La perpendicolare condotta dal centro di una circonferenza a una sua corda la divide a metà. Due corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro. Se da un punto P, esterno a una circonferenza di centro O si tracciano le rette r e s a essa tangenti, i segmenti di tangente compresi tra P e i punti di contatto con la circonferenza sono congruenti e il segmento OP è bisettrice dell'angolo rs di vertice P.

Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza, il cui centro coincide con l'intersezione degli assi dei segmenti che congiungono i punti. L'equazione della circonferenza passante per i punti (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) si può esprimere nel seguente modo:

$\det\begin{bmatrix} x & y & x^2 + y^2 & 1 \\ x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\ x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\ x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\ \end{bmatrix} = 0.$

dove l'espressione a sinistra è il determinante della matrice.

Topologia

Una circonferenza topologica si ottiene considerando un intervallo chiuso sulla retta reale e dotandolo della topologia quoziente che si ha identificando gli estremi.

La circonferenza è dotata di una naturale struttura di varietà differenziabile di dimensione 1, è uno spazio compatto e connesso ma non semplicemente connesso, infatti il suo gruppo fondamentale è il gruppo Z dei numeri interi.

Struttura di gruppo

La circonferenza è naturalmente dotata della struttura algebrica di gruppo: possiamo identificare ogni punto della circonferenza con l'angolo che esso forma rispetto ad una semiretta prefissata (in genere l'asse delle ascisse in un sistema di riferimento cartesiano) e definire la somma di due punti individuati dagli angoli α e β come il punto individuato dall'angolo α + β. È immediato verificare che la circonferenza dotata di questa operazione verifica le proprietà di un gruppo e che come gruppo è isomorfo al gruppo quoziente R/Z.

La circonferenza è un esempio di gruppo di Lie.

Voci correlate

• Cerchio
• Circonferenza unitaria
• Costruzione di Specht
• Partizione di Andrzej Szulkin

Altri progetti

• Commons

• Wikimedia Commons contiene file multimediali su Circonferenza

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica