Fascio di circonferenze

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In matematica, in particolare geometria euclidea, un fascio di circonferenze è un insieme di infinite circonferenze i cui centri giacciono su una retta (detta retta dei centri o asse centrale), o anche un insieme di infinite circonferenze aventi il medesimo centro. Il fascio è ottenuto utilizzando due circonferenze (dette circonferenze base o generatrici) le cui equazioni, opportunamente parametrizzate, generano l'equazione dell'intero fascio, cioè dalle due generatrici è possibile ottenere le equazioni di tutte le altre circonferenze del fascio.

Equazione del fascio di circonferenze[modifica | modifica wikitesto]

Un fascio di circonferenze aventi in comune due punti. L'equazione del fascio è x^2 + y^2 + kx - (k+4) = 0.

L'equazione del fascio di circonferenze si ottiene tramite la combinazione lineare di due equazioni canoniche della circonferenza:

\lambda \left( x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1 \right) + \mu \left( x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2 \right) = 0.

Ciascuna circonferenza del fascio è identificata dalla coppia di parametri reali ( \mu, \lambda ); le equazioni di partenza si ottengono annullando uno dei due parametri e le circonferenze associate ad esse sono dette circonferenze base (o generatrici) del fascio. La scelta delle generatrici per un dato fascio è comunque arbitraria, e qualunque coppia di circonferenze (distinte) del fascio può essere utilizzata come generatrice. Non è invece possibile annullare entrambi i parametri perché in questo caso l'equazione si trasformerebbe nell'identità 0 = 0.

Se a uno dei parametri viene imposta la condizione di non annullarsi, è possibile ricondurre il fascio ad una equazione con un unico parametro; ad esempio, imponendo \mu \neq 0 e k = \frac{\lambda}{\mu} si ha:

k \left( x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1 \right) + \left( x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2 \right) = 0.

Il fascio così ottenuto non è però completo perché manca della circonferenza ottenuta con \mu = 0. Le proprietà descritte possono essere riassunte dicendo che ( \mu, \lambda ) è un parametro proiettivo. Utilizzando il linguaggio della geometria proiettiva, quando si scrive l'equazione del fascio dipendente da un solo parametro k, l'altra generatrice corrisponde al valore k=\infty, cioè corrisponde al punto all'infinito.

Riduzione dell'equazione e casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

Poiché i coefficienti quadratici della circonferenza valgono 1, è possibile ridurre l'equazione del fascio a una combinazione lineare tra le equazioni di una circonferenza e di una retta (detta anche circonferenza degenere):

\lambda_1 \left( x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1 \right) + \mu_1 \left( a_2 x + b_2 y + c_2 \right) = 0.

Questa riduzione è sempre possibile se non vale la relazione \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}; in quest'ultimo caso il fascio è composto di circonferenze concentriche e può essere riscritto come dipendente da un unico parametro:

x^2 + y^2 + ax + by + k = 0.

La riduzione non è possibile anche nel caso in cui \lambda + \mu = 0 (o equivalentemente k = -1); in questo caso il fascio originario degenera in un retta.

Asse centrale, asse radicale e punti base[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso di fascio di circonferenze non concentriche, i centri di tutte le circonferenze del fascio giacciono sulla medesima retta chiamata asse centrale.

I punti comuni a tutte le circonferenze del fascio (anche quelle degeneri) sono detti punti base del fascio. Un fascio di circonferenze può avere due, uno o nessun punto base. Le coordinate dei punti base si trovano mettendo a sistema le equazioni delle due circonferenze generatrici (o di due qualunque circonferenze distinte del fascio).

L'asse radicale è la retta la cui equazione si ottiene dalla sottrazione membro a membro delle due equazioni delle circonferenze generatrici (o di qualunque due circonferenze distinte del fascio). L'asse radicale risulta sempre perpendicolare all'asse centrale e passa per i punti base, nel caso essi siano presenti. Nel caso di circonferenze concentriche l'asse radicale non esiste. Esprimendo il fascio come combinazione lineare di una retta e una circonferenza, la retta generatrice risulta essere l'asse radicale del fascio, mentre l'asse centrale è la retta perpendicolare alla retta generatrice e passante per il centro della circonferenza generatrice.[1][2]

Classificazione dei fasci di circonferenze[modifica | modifica wikitesto]

I fasci di circonferenze possono essere classificati usando i centri e i punti base. Ci sono quattro tipologie di fascio:

  • Circonferenze concentriche: tutte le circonferenze del fascio hanno lo stesso centro, non esistono asse radicale né punti base.
  • Circonferenze esterne: tutte le circonferenze del fascio hanno centri distinti ma giacenti sulla stessa retta (asse centrale), non esistono punti base.
  • Circonferenze tangenti: tutte le circonferenze del fascio hanno centri distinti ma giacenti sulla stessa retta (asse centrale) e sono tangenti tra loro (internamente o esternamente) nello stesso punto (unico punto base del fascio) e alla stessa retta (asse radicale).
  • Circonferenze secanti: tutte le circonferenze del fascio hanno centri distinti ma giacenti sulla stessa retta (asse centrale) e sono secanti in due punti comuni (i due punti base del fascio), l'asse radicale è la retta secante, cioè quella passante per tali due punti.

Per classificare un fascio è sufficiente quindi studiare la posizione reciproca di due qualunque circonferenze distinte del fascio, ad esempio la posizione reciproca delle generatrici.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Enrica Casazza, Dionisio Gallarati, Geometria con elementi di calcolo numerico, ECIG, 1993, ISBN 88-7545-578-3.
  2. ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso base blu di matematica (volume 3), Zanichelli, 2005, ISBN 88-08-07735-7.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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