Ellisse

Tipi di sezioni coniche:
1. Parabola
2. Circonferenza ed ellisse
3. Iperbole

In geometria, una ellisse (dal greco ἔλλειψις elleipsis, mancanza, perché l'ellisse è un circolo imperfetto) è una curva piana ottenuta intersecando un cono con un piano in modo da produrre una curva chiusa. Affinché la sezione conica produca una curva chiusa, l'inclinazione del piano deve essere superiore a quella della generatrice del cono rispetto al suo asse. Per contro, le due sezioni coniche ottenute con piani aventi inclinazione pari o inferiore a quella della retta generatrice rispetto all'asse del cono danno vita ad altri due tipi di curve che sono però aperte e illimitate: la parabola e l’iperbole.

La circonferenza è un caso speciale di ellisse che si ottiene quando l’intersezione viene fatta con un piano ortogonale all’asse del cono.

Un’ellisse è anche il luogo dei punti di un piano per i quali la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi rimane costante.

L’ellisse deriva anche dalla proiezione su un piano orizzontale di una circonferenza: se questa infatti giace su un piano inclinato di un angolo φ rispetto al piano orizzontale, la sua proiezione verticale su quest’ultimo rappresenta una ellisse di eccentricità sin φ.

Si tratta infine della più semplice tra le figure di Lissajous, ottenuta dalla composizione dei due moti verticale e orizzontale di tipo sinusoidale della stessa frequenza.

In base alle leggi di Keplero, l'orbita di un pianeta è un'ellisse con il Sole che ne occupa uno dei due fuochi.

Ellisse: a è pari al semiasse maggiore, b al semiasse minore, F₁ ed F₂ sono i due fuochi, c è pari alla distanza di uno qualunque dei fuochi dal centro e infine la somma $\scriptstyle \bold {\overline{F_1X}+\overline{XF_2}}$ è costante e si dimostra essere pari a 2a, lunghezza dell'asse maggiore.

Dimostrazione geometrica dell'uguaglianza tra la somma delle distanze di un punto dell'ellisse dai due fuochi e la costante 2a (lunghezza dell'asse maggiore): se si considera in particolare il punto B dell'ellisse si nota come la somma $\scriptstyle \bold{\overline{F_1B}+\overline{F_2B}}$ sia pari alla lunghezza 2a dell'asse maggiore.

Elementi di una ellisse

Definizioni

L'ellisse è una curva simile a un cerchio allungato in una direzione: è un esempio di sezione conica e può essere definita come il luogo dei punti per i quali la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, rimane costante. Se i due fuochi coincidono si ha una circonferenza, che può quindi considerarsi un caso particolare di ellisse (ad eccentricità nulla).

È una curva simmetrica sia rispetto all'asse delle ascisse sia rispetto all'asse delle ordinate e sia rispetto al centro. La distanza tra i punti antipodali dell'ellisse, vale a dire tra punti simmetrici rispetto al suo centro, è massima lungo l'asse maggiore (che contiene anche i due fuochi) ed è minima lungo l'asse minore perpendicolare a quello maggiore. Il semiasse maggiore è una delle due metà dell'asse maggiore: parte dal centro, passa attraverso un fuoco e arriva all'ellisse. Analogamente il semiasse minore è metà dell'asse minore. I due assi sono per l'ellisse l'equivalente del diametro per la circonferenza, mentre i due semiassi sono l'equivalente del raggio.

La dimensione e la forma di un'ellisse sono determinate da due costanti, dette convenzionalmente a e b. La costante a è la lunghezza del semiasse maggiore mentre la costante b quella del semiasse minore.

Equazioni

Relazione tra i parametri a, b e c di un'ellisse. Se scegliamo in particolare il punto C, dovendo essere costante e pari a 2a la somma delle distanze dei due fuochi da C ed essendoci simmetria rispetto al punto C, ciascuna delle due distanze sarà pari ad a. Applicando il teorema di Pitagora si ricava che $\scriptstyle \bold{a^2 = b^2 + c^2}$

L'equazione dell'ellisse si trova eguagliando la somma delle distanze fra i due fuochi F₁(x₁;y₁) ed F₂(x₂;y₂) e un punto generico P(x;y) con il doppio del semiasse maggiore:

$\scriptstyle \overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 2a$

$\scriptstyle \sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2} + \sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2} = 2a$

Per trovare l'equazione canonica o normale dell'ellisse, con centro nell'origine e i fuochi sull'asse delle x(cioè a>b), sostituiamo y₁ = 0, y₂ = 0, x₁ = -c, x₂ = c, c = $\scriptstyle \sqrt{a^2-b^2}$. Dopo alcuni passaggi si ricava che l'ellisse centrata nell'origine di un sistema x-y di assi cartesiani con l'asse maggiore posto lungo l'asse delle ascisse è definita dall'equazione:

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

La stessa ellisse è rappresentata anche dall'equazione parametrica:

$\begin{cases}x = a\,\cos t \\y = b\,\sin t \\0 \leq t < 2\pi \end{cases}$

che fa uso delle funzioni trigonometriche seno e coseno.

Eccentricità

L'eccentricità e di un'ellisse è compresa tra zero e uno ed è il rapporto della distanza tra i due fuochi F₁=(-c;0) ed F₂=(+c;0) e la lunghezza dell'asse maggiore 2a:

$e = \frac{2c}{2a} = \frac{c}{a}$

L'eccentricità rende conto della forma più o meno schiacciata dell'ellisse: quando è pari a zero, i due fuochi coincidono e l'ellisse degenera in una circonferenza. Man mano che l'eccentricità tende a 1, l'ellisse si schiaccia sempre più e quando assume il valore unitario essa degenera in un segmento lungo 2a.

Coordinate polari con centro in uno dei fuochi.

Semilato retto

Il semilato retto di un'ellisse, solitamente denotato dalla lettera l, è la distanza tra ciascuno dei fuochi dell'ellisse e l'ellisse stessa misurata lungo una linea perpendicolare all'asse maggiore. È legato ad a e b dalla formula

$l = \frac{b^2}{a}$

Equazione in coordinate polari relative a uno dei fuochi

In coordinate polari, un'ellisse con un fuoco nell'origine e con la coordinata angolare θ misurata a partire dall'asse maggiore è rappresentata dall'equazione:

$r(\theta) = \frac{l} {1 + e \cos \theta}$

dove l denota il semilato retto.

Area

L'area racchiusa da un'ellisse è data da

$A = {\pi} \cdot a \cdot b$.

Tangente a un'ellisse in un suo punto: formula dello sdoppiamento

Tangente a un'ellisse in un suo punto P₀(x₀,y₀). Coefficiente angolare: $\scriptstyle \bold {m=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}}$
Equazione: $\scriptstyle \bold{\frac{{xx}_0}{a^2}+\frac{{yy}_0}{b^2}=1}$

L'equazione della retta tangente all'ellisse in un suo punto P₀ è data dalla seguente formula:

$\frac{{xx}_0}{a^2}+\frac{{yy}_0}{b^2}=1$

Il suo coefficiente angolare è dato da:

$m=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$

Dimostrazione mediante calcolo algebrico

Scriviamo il sistema di 3 equazioni, con la prima relativa all'ellisse, la seconda che impone l'appartenenza del punto P₀(x₀,y₀) all'ellisse e la terza che impone il passaggio della retta tangente per il punto P₀ con inclinazione m da determinare:

$\scriptstyle \begin{cases} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \\ \scriptstyle \frac{x^2_0}{a^2}+\frac{y^2_0}{b^2}=1 \\ \scriptstyle y-y_0=m(x-x_0) \end{cases}$

Nella prima e seconda equazione i secondi membri sono uguali a 1 e quindi anche i primi membri saranno tra essi uguali:

$\scriptstyle \begin{cases} \scriptstyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{x^2_0}{a^2}+\frac{y^2_0}{b^2} \\ \scriptstyle \scriptstyle y-y_0=m(x-x_0) \end{cases}$

$\scriptstyle \begin{cases}\frac{\left(x-x_0\right)\left(x+x_0\right)}{a^2}+\frac{\left(y-y_0\right)\left(y+y_0\right)}{b^2}=0 \\ \scriptstyle y-y_0=m(x-x_0) \end{cases}$

Sostituiamo la seconda equazione nella prima:

$\scriptstyle \frac{\left(x-x_0\right)\left(x+x_0\right)}{a^2}+\frac{m\left(x-x_0\right)\left(y+y_0\right)}{b^2}=0$

$\scriptstyle \left(x-x_0\right)\left[\frac{\left(x+x_0\right)}{a^2}+\frac{m\left(y+y_0\right)}{b^2}\right]=0$

Poiché nel punto di tangenza la soluzione del sistema deve produrre due soluzioni coincidenti, allora sia il primo fattore che il secondo devono annullarsi nel punto P₀. Per il primo fattore ciò si verifica banalmente in quanto in x₀ risulta (x-x₀)=0. Basta a questo punto imporre l'annullamento del secondo fattore:

$\scriptstyle \left[\frac{\left(x_0+x_0\right)}{a^2}+\frac{m\left(y_0+y_0\right)}{b^2}\right]=0$

$\scriptstyle \frac{{2x}_0}{a^2}+\frac{{2y}_0m}{b^2}=0$

$\scriptstyle \bold {m=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}}$ (coefficiente angolare della retta tangente nel punto P₀)

Sostituiamo la pendenza m nell'equazione della retta:

$\scriptstyle y-y_0=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0)$

$\scriptstyle a^2y_0y-a^2y^2_0=b^2x^2_0-b^2x_0x$

$\scriptstyle \bold{\frac{{xx}_0}{a^2}+\frac{{yy}_0}{b^2}=1}$ (c.d.d)

Dimostrazione mediante derivate

Una dimostrazione alternativa può essere fatta ricorrendo alla derivata della "funzione" ellisse $\scriptstyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ nel punto P₀: basta infatti ricordare che la derivata di una funzione in un suo punto coincide con la tangente nel punto stesso. Effettuando quindi la derivata rispetto a x dell'equazione dell'ellisse otteniamo:

$\scriptstyle \frac{2x}{a^2}+\frac{2yy'}{b^2}=0$

Poiché y', come detto, coincide con la tangente, ovvero con il coefficiente angolare m, si ottiene

$\scriptstyle m=y'=-\frac{b^2x}{a^2y}$

che calcolata nel punto P₀(x₀,y₀) fornisce:

$\scriptstyle \bold{m=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}}$ (c.d.d)

Proprietà tangenziale

Una tangente all'ellisse in un suo punto P forma angoli uguali con le rette passanti per P e per ciascuno dei due fuochi.

Per dimostrare questa proprietà si può ricorrere al teorema di Erone in base al quale data una retta r e due punti Q ed R ad essa esterni, il punto P della retta r che minimizza la somma $\scriptstyle \overline{PQ}+\overline{PR}$ è quello per il quale i segmenti $\scriptstyle \overline{PQ}$ e $\scriptstyle \overline{PR}$ formano angoli uguali con la retta r.

Consideriamo a tale scopo un'ellisse con fuochi Q ed R: un suo qualunque punto P soddisfa la condizione

$\scriptstyle \overline{PQ}+\overline{PR}=2a$

Si tenga inoltre presente che per un qualunque punto S interno all’ellisse vale la condizione

$\scriptstyle \overline{SQ}+\overline{SR}<2a$

Consideriamo ora una retta passante per un punto P dell'ellisse tale da formare angoli uguali con i segmenti $\scriptstyle \overline{PQ}$ e $\scriptstyle \overline{PR}$: per il teorema di Erone il punto P è il punto della retta che rende minima la somma $\scriptstyle \overline{PQ}+\overline{PR}$. Ciò implica che la retta deve essere tangente all'ellisse: infatti se così non fosse, la retta entrerebbe dentro l'ellisse e detto S un suo punto ad essa interno varrebbe la condizione $\scriptstyle \overline{SQ}+\overline{SR}<2a$ in contrasto con il teorema di Erone per il quale in P e non in S si sarebbe dovuta registrare la minima somma. Resta così dimostrata l’affermazione iniziale.

Vediamo alcune conseguenze di questo enunciato.

In un tavolo da biliardo a forma di ellisse una palla lanciata da uno dei due fuochi verrà riflessa dal bordo e passerà necessariamente per l’altro fuoco. La stessa cosa si verificherà in uno specchio concavo a forma di ellisse nel quale tutti i raggi luminosi emessi da uno dei due fuochi passeranno necessariamente per l'altro fuoco indipendentemente dalla direzione seguita: da qui deriva il nome di fuochi dati a questi due particolari punti dell'ellisse. Analogamente, in una camera a forma di ellisse le onde sonore che partono da uno dei due fuochi raggiungeranno l'altro da tutte le direzioni e poiché la distanza percorsa nel tragitto da un fuoco all'altro è sempre la stessa le onde arriveranno tutte sincronizzate: questo spiega perché due persone poste nei due fuochi possono comunicare facilmente anche da lunghe distanze, mentre due persone, anche notevolmente più vicine tra loro ma non situate nei fuochi, potrebbero non sentire le parole dell’altra. Su questo principio si basa la costruzione di alcune sale.

Tangenti a un'ellisse condotte da un punto esterno

Tangenti a un'ellisse condotte da un punto P₀(x₀,y₀) ad essa esterno. I coefficienti angolari delle due rette si ottengono risolvendo l'equazione di secondo grado:
$\scriptstyle \bold {\left(a^2-x^2_0\right)m^2+2x_0y_0m+b^2-y^2_0=0}$

I coefficienti angolari delle tangenti a un'ellisse condotte da un punto P₀(x₀,y₀) ad essa esterno si ricavano dalla risoluzione della seguente equazione di secondo grado:

$\left(a^2-x^2_0\right)m^2+2x_0y_0m+b^2-y^2_0=0$

Dimostrazione

Scriviamo il sistema di due equazione con la prima relativa all'equazione dell'ellisse e la seconda relativa al fascio di rette passanti per il punto P₀

$\begin{cases} \scriptstyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \\ \scriptstyle y-y_0=m(x-x_0) \end{cases}$

$\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \\ \scriptstyle y=mx-{mx}_0+\ y_0 \end{cases}$

Sostituiamo la seconda nella prima:

$\scriptstyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{m^2x^2+m^2x^2_0+y^2_0-2m^2x_{0\ }x+2my_0x-2mx_0y_0}{b^2}-1=0$

$\scriptstyle \left(\frac{1}{a^2}+\frac{m^2}{b^2}\right)x^2+\left(-\frac{2x_0m^2}{b^2}+\frac{2y_0m}{b^2}\right)x+\left(\frac{x^2_0m^2}{b^2}-\frac{2x_0y_0m}{b^2}+\frac{y^2_0-b^2}{b^2}\right)=0$

Imponiamo ora la condizione di tangenza, ovvero che il discriminante Δ si annulli facendo questa espressione :

$\scriptstyle {\left(-\frac{2x_0m^2}{b^2}+\frac{2y_0m}{b^2}\right)}^2-4\left(\frac{1}{a^2}+\frac{m^2}{b^2}\right)\left(\frac{x^2_0m^2}{b^2}-\frac{2x_0y_0m}{b^2}+\frac{y^2_0-b^2}{b^2}\right)=0$

$\scriptstyle \cancel{\frac{4m^4x^2_0}{b^4}}-\cancel{\frac{8m^3x_0y_0}{b^4}}+\frac{4m^2y^2_0}{b^4}-4\left(\frac{x^2_0m^2}{a^2b^2}-\frac{2x_0y_0m}{a^2b^2}+\frac{y^2_0-b^2}{a^2b^2}+\cancel{\frac{x^2_0m^4}{b^4}}-\cancel{\frac{2x_0y_0m^3}{b^4}}+\frac{\left(y^2_0-b^2\right)m^2}{b^4}\right) =0$

$\scriptstyle \frac{4y^2_0m^2}{b^4}-\frac{4x^2_0m^2}{a^2b^2}-\frac{4\left(y^2_0-b^2\right)m^2}{b^4}+\frac{8x_0y_0m}{a^2b^2}-\frac{4\left(y^2_0-b^2\right)}{a^2b^2}=0$

$\scriptstyle \cancel{4a^2y^2_0m^2}-4{b^2x}^2_0m^2-4a^2\left(\cancel{y^2_0}-b^2\right)m^2+8{b^2x}_0y_0m-4b^2\left(y^2_0-b^2\right)=0$

$\scriptstyle -x^2_0m^2+a^2m^2\ +2x_0y_0m-y^2_0+b^2=0$

$\scriptstyle \left(a^2-x^2_0\right)m^2+2x_0y_0m+b^2-y^2_0=0$ (c.d.d.)

Equazione generale di un'ellisse

L'equazione generale dell'ellisse avente i fuochi F₁(x_F1;y_F1) ed F₂(x_F2;y_F2) posti in posizione generica sul piano cartesiano e avente il semiasse maggiore denotato con a è data da

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

dove i parametri A, B, C, D, E ed F sono pari a

$\scriptstyle A=16a^2-4(x_{F1}-x_{F2})^2$

$\scriptstyle B=-8(x_{F1}-x_{F2})(y_{F1}-y_{F2})$

$\scriptstyle C=16a^2-4(y_{F1}-y_{F2})^2$

$\scriptstyle D=4(x_{F1}-x_{F2})(x_{F1}^2-x_{F2}^2+y_{F1}^2-y_{F2}^2)-16a^2(x_{F1}+x_{F2})$

$\scriptstyle E=4(y_{F1}-y_{F2})(x_{F1}^2-x_{F2}^2+y_{F1}^2-y_{F2}^2)-16a^2(y_{F1}+y_{F2})$

$\scriptstyle F=4(x_{F1}^2+y_{F1}^2)(x_{F2}^2+y_{F2}^2)-(x_{F1}^2+x_{F2}^2+y_{F1}^2+y_{F2}^2-4a^2)^2$

Lunghezza

La lunghezza dell'ellisse è c = 4aE(e), dove la funzione E è un integrale ellittico completo di seconda specie.

Lo sviluppo in serie è:

$\scriptstyle c = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \dots}\right]\!\,$

Una buona approssimazione è quella di Ramanujan:

$\scriptstyle c \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,$

che può anche essere scritta come:

$\scriptstyle c \approx \pi a \left[ 3 (1+\sqrt{1-e^2}) - \sqrt{(3+ \sqrt{1-e^2})(1+3 \sqrt{1-e^2})} \right] \!\,$

Più in generale, la lunghezza dell'arco di una porzione di circonferenza, come funzione dell'angolo sotteso, è data da un integrale ellittico incompleto. La funzione inversa, l'angolo sotteso come funzione della lunghezza dell'arco, è data da una funzione ellittica.

Voci correlate

• Coordinate ellittiche
• Diametro coniugato
• Ellisse del giardiniere
• Ellissoide, un'ellisse in tre o più dimensioni.
• Iperbole
• Orbita ellittica
• Parabola
• Rappresentazione matriciale delle coniche
• Sezione conica
• Sferoide, l'ellissoide ottenuto ruotando un'ellisse attorno al suo asse maggiore o minore.
• Superellisse, una generalizzazione dell'ellisse, è più squadrata.

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