Figura di Lissajous

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Figura di Lissajous su un oscilloscopio
Figura di Lissajous in tre dimensioni

In matematica e in fisica per figura di Lissajous si intende il grafico di una curva data dal sistema di equazioni parametriche

x = A_x\cos(\omega_x t+\phi_x),\quad y = A_y\sin(\omega_y t + \phi_y),

dove le Ai sono le ampiezze, le ωi le pulsazioni e le φi le fasi di due moti oscillatori ortogonali.

Esse sono state ampiamente studiate dal fisico Jean Antoine Lissajous (1822 - 1880). In precedenza, nell'anno 1815, erano state studiate dall'astronomo americano Nathaniel Bowditch (1773 - 1838) e sono chiamate anche figure di Bowditch.

L'aspetto di queste figure è molto sensibile al rapporto \frac{\omega_x}{\omega_y}.

In particolare, quando tale rapporto è pari ad uno, la figura risulta essere, in generale, un'ellisse, che diventa una circonferenza nel caso in cui sia anche A_x=A_y, \phi_x=0 e \phi_y=0 (moti oscillatori tra loro in quadratura), e si riduce ad un segmento nel caso in cui sia anche \phi_x=-\frac{\pi}{2}, \phi_y=0 (moti oscillatori tra loro in fase). Un'altra semplice figura di Lissajous è la parabola, che si ottiene quando \frac{\omega_x}{\omega_y}=2 e \phi_x=0, \phi_y=0. Altri rapporti producono curve più complicate, che sono chiuse solo se il rapporto \frac{\omega_x}{\omega_y} è razionale. La forma di queste curve spesso ricorda un nodo tridimensionale, e in effetti molti tipi di nodi, quando vengono proiettati su un piano, diventano figure di Lissajous.

Seguono alcuni esempi di figure di Lissajous con \phi_x=\frac{\pi}{2} e \phi_y=0.


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