Equazione parametrica

In matematica, equazione parametrica o letterale è una equazione in cui le variabili (indipendente e dipendente) sono espresse a loro volta in funzione di uno o più parametri. Un tipico parametro potrebbe essere il tempo (t). Ad esempio in cinematica il parametro tempo serve a stabilire la velocità, l'accelerazione e altri aspetti del movimento.

Il contrario di equazione parametrica è equazione numerica.

Una retta e una curva in genere possono essere sempre espressi parametricamente.

Da notare che, in genere, la parametrizzazione non è mai unica, infatti il parametro (o i parametri) può essere scelto in diversi modi a seconda del tipo di curva, di equazione o in modo da semplificare i calcoli.

Genericamente un'equazione parametrica si può pensare come una relazione in forma di equazione espressa in funzione di Rⁿ legata ad un parametro e ad una rappresentazione parametrica.

Per esempio, una generica retta di equazione cartesiana

$ax+by+c=0$

come equazione parametrica diventa:

$x = x_0 + \alpha t$

$y = y_0 + \beta t$

e il parametro t è dato da: $t=\frac{x-x_0}{\alpha}$ ($\alpha=b$ e $\beta=-a$)

L'equazione di una parabola, $y=x^2$ può essere parametrizzata in funzione del parametro t, ponendo

$x = t$

$y = t^2$

La parametrizzazione di una circonferenza di raggio r e centro nell'origine ($x^2+y^2=r^2$) è:

$x = r \cos(t)$

$y = r \sin(t)$

Le equazioni parametriche dell'ellisse sono:

$x = a\,\cos t$

$y = b\,\sin t$

con $0 \leq t < 2\pi$ come limiti del parametro

Alcune forme geometriche sono difficili da descrivere come singole equazioni cartesiane, ma risultano evidenti in forma parametrica, ad es.:

$x = a \cos(t)$

$y = a \sin(t)$

$z = bt$

descrive una curva tridimensionale, l'elica, con raggio a e passo 2πb unità per giro. (Le equazioni sono identiche nel piano a quelle della circonferenza.)

Tipiche espressioni parametriche sono:

$r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (a \cos(t), a \sin(t), b t)$

mentre una generica curva parametrica (in funzione di t) si può scrivere $\gamma(t)=(\gamma_1(t),...,\gamma_n(t)$ mettendo in risalto le sue componenti parametriche di parametro t. Si ha: $x=\gamma(t)$: $I \rightarrow R^n$ Con questa notazione è più agevole derivare la funzione che rappresenta la curva e calcolare anche integrali curvilinei e integrali di linea. Poiché in questo modo si può integrare e differenziare queste curve con riguardo ai loro termini, si può, ad es., descrivere la velocità di una particella avendo riguardo alla parametrizzazione del percorso:

$v(t) = r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)) = (-a \sin(t), a \cos(t), b)$

e l'accelerazione come:

$a(t) = r''(t) = (x''(t), y''(t), z''(t)) = (-a \cos(t), -a \sin(t), 0)$

Se in generale una curva parametrica (ivi compresa la retta) è una funzione di un parametro indipendente (in genere t), per parametrizzare superfici, per esempio nel calcolo vettoriale, si usano funzioni di due parametri, in genere notati con (s, t) o (u,v). In generale per parametrizzare una varietà di dimensione n occorrono n parametri liberi.

Un esempio di curva parametrica con due parametri è il cilindro con equazioni parametriche:

$r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = (a \cos(u), a \sin(u), v)$

L'equazione deriva da quella della circonferenza nel piano, e rappresenta un cilindro in R³. Il parametro z è fissato arbitrariamente.

Applicazioni

Un'applicazione delle equazioni parametriche consiste nel dover determinare il valore di un parametro incognito all'interno di un'equazione in modo che le radici dell'equazione stessa soddisfino determinate condizioni.

Per esempio nell'equazione

$kx+1=0$

si determini il valore di k affinché l'equazione risulti impossibile. La soluzione dell'equazione è

$x=\frac{-1}{k}$

perciò affinché risulti impossibile deve essere k = 0.

Meno immediato è il procedimento per un'equazione di 2º grado, nella quale solitamente si deve determinare il valore del parametro note alcune relazioni tra le due radici dell'equazione ($x_1$ e $x_2$). Per fare ciò si utilizzano alcune proprietà delle equazioni di secondo grado, cioè, detta

$ax^2+bx+c=0$

l'equazione, e x₁ e x₂ le sue due soluzioni, vale che:

$\begin{align} b^2-4ac &= 0 \longrightarrow x_1 = x_2 \\ b^2-4ac &\ne 0 \longrightarrow x_1 \ne x_2 \\ x_1+x_2 &= -\left({b\over a}\right) \\ x_1 \cdot x_2 &= {c\over a} \end{align}$

Nel caso stesse lavorando nel campo dei numeri reali, ci si deve ricordare che non è mai accettabile che il discriminante sia minore di zero.

Per esempio nell'equazione

$x^2-6x+(k-2)=0$

determinare k in modo che:

1) le radici siano distinte

quindi per la seconda proprietà:

$b^2-4ac\ne0$

$6^2-4(k-2)\ne0$

$k\ne11$

2) il prodotto delle radici sia −16

quindi per la quarta proprietà:

$x_1 \cdot x_2=-16$

${c\over a}=-16$

$(k-2)=-16$

$k=-14 \, .$

Formule di Waring

Quando le relazioni note tra le radici non sono del tipo

$x_1+x_2=y$

$x_1 x_2=y$

si deve tentare di portare le relazioni note sotto forma di somma o prodotto di radici. A questo scopo vengono spesso utilizzate le cosiddette Formule di Waring.

Per esempio, nel caso sapessimo che:

$x_1^2+x_2^2=y$

la formula si può sostituire con

$(x_1+x_2)^2-2 x_1 x_2 =y$

è facile verificare che le due sono equivalenti, però nella seconda è possibile sostituire i coefficienti dell'equazione parametrica che stiamo risolvendo:

$+\left({b^2\over a^2}\right)-2 {c\over a}=y$

per poi sostituire ad $a$ , $b$ e $c$ i valori presenti nell'equazione.

Queste trasformazioni sono indispensabili per la risoluzione dell'equazione parametrica; eccone alcune, tre le più usate.

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2 x_1 x_2 =s^2-2p$

$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1 x_2 (x_1+x_2)=s^3-3ps$

$\left({1\over x_1}-{1\over x_2}\right)={(x_2-x_1)\over (x_1 x_2)}$

$\left({1\over x_1}+{1\over x_2}\right)={(x_1+x_2)\over (x_1 x_2)}$

${1\over x_1^2}+{1\over x_2^2}={[(x_1+x_2)^2-2(x_1 x_2)]\over (x_1 x_2)^2}$

${1\over x_1}+x_2={(x_1 x_2+1)\over x_1}$

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