Relazione (matematica)

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In matematica una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di due o più insiemi.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Relazione tra due insiemi[modifica | modifica wikitesto]

Una relazione tra due insiemi A e B (o relazione binaria) è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano, R\subset A\times B.

Si utilizzano in maniera equivalente le notazioni

(a,b)\in R
R(a,b)
aRb

e quando sono verificate si dice che a è in relazione con b (secondo la relazione R).

Relazioni tra n insiemi[modifica | modifica wikitesto]

Una relazione tra n insiemi S_1,\ldots,S_n è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano S_1\times\ldots\times S_n, ovvero un insieme di n-uple ordinate (s_1,\ldots,s_n). È anche detta relazione n-aria (in casi specifici anche ternaria, quaternaria, eccetera). Si utilizzano in maniera equivalente le notazioni

(s_1,\ldots,s_n)\in R
R(s_1,\ldots,s_n)

Con notazione diversa, una relazione su una famiglia di insiemi \mathcal{F}=\{S_i\}i\in I è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano \prod_{i\in I}S_i.

Formalmente è possibile definire una relazione su un solo insieme A (anche detta una relazione unaria o proprietà):

R=\{a\in A\mid R(a)\}

L'insieme R è (banalmente) l'insieme degli elementi che godono della proprietà di appartenere ad R.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Si dice che una relazione binaria R \subset A \times A è una relazione di equivalenza, o più semplicemente un'equivalenza, se è:

Si dice che R è una relazione d'ordine, o più semplicemente un ordine, se è:

  • Riflessiva: \forall a\in A,\ aRa
  • Antisimmetrica: \forall a,b\in A, \ aRb \wedge bRa \Rightarrow a=b
  • Transitiva: \forall a,b,c\in A, \ aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc

In più è totale se vale la linearità o totalità:

  • Totalità: \forall a,b \in A, \ aRb \vee bRa.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • L'ordine stretto maggiore sui numeri reali mette in relazione coppie di numeri reali
R=\{(a,b)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\mid a>b\}

ovvero a\in\mathbb{R} è in relazione maggiore con b\in\mathbb{R} quando a>b (cioè aRb).

  • Sui numeri naturali, la differenza a-b=c mette in relazione triple (a,b,c) secondo
R=\{(a,b,c)\in\mathbb{N}^3\mid a-b=c\}
  • Ogni funzione f\colon A\to B è una relazione
R_f=\{(a,b)\in A\times B\mid f(a)=b\}

e può essere identificata con il suo grafico.

  • Su numeri reali la positività (x\geqslant0) è una relazione:
R=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geqslant 0\}

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Informatica[modifica | modifica wikitesto]

Le "relazioni" che vengono utilizzate nelle basi di dati sono davvero delle relazioni:

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

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