Superellisse

Un esempio di ipoellisse con a = b = 1 e n = 1/2

In geometria piana, per superellisse si intende una figura geometrica che in un sistema di coordinate cartesiane viene descritto come il luogo dei punti (x, y) che soddisfano l'equazione

$\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1$ ,

con n, a e b reali positivi. Nel caso n = 2 si ha l'ellisse ordinaria; è inoltre evidente che si tratta di insiemi di punti simmetrici rispetto agli assi Ox orizzontale e Oy verticale, e quindi anche rispetto al loro punto d'intersezione, O, origine del sistema di riferimento.

Queste figure si possono ricondurre alle curve della famiglia indicizzata dal solo parametro n ottenibili fissando i valori a=b=1, cioè alle figure che soddisfano l'equazione normale

$\left|x\right|^n\! + \left|y\right|^n\! = 1$ ;

una superellisse della forma generale si ottiene applicando a quest'equazione le omotetie x → x/a e y → y/b.

Osservando le superellissi canoniche si vede che sono invarianti anche per le riflessioni rispetto alle rette per l'origine y = x e y = − x. Grazie all'invarianza per le riflessioni rispetto ai due assi, i punti di una superellisse si possono ripartire in 4 curve parziali, ciascuna appartenente ad un quadrante. Per studiare le superellissi dunque basta limitarsi al primo quadrante del piano cartesiano e considerare la curva data dalla funzione

$y \,=\, (1-x^n)^{1/n}$ .

Un esempio di ipoellisse con a = b = 1 e n = 3/2

Altra tipologia di superellisse è quella cuspidale o a "mandorla". Tale tipologia di ellisse possiede tutte le caratteristiche della superellisse classica, ma è discontinua ai vertici arrivando a possedere la caratteristica forma ad "occhio". Alla classe delle superellisse appartengono anche gli ellissoidi ovoidali dalla caratteristica forma ad uovo rappresentabili come delle curve quartiche. Quest'ultima tipologia di superellissi invece è discontinua solo in un punto.

Le figure della famiglia ottenute con n>2 sono dette iperellissi, quelle relative a n<2 sono chiamate ipoellissi. All'aumentare di n la curva canonica si avvicina sempre di più al rettangolo definito dai vertici opposti (1,1) e (-1,-1); al diminuire di n da 2 a 1 la curva da cerchio unitario si avvicina al quadrato definito dai vertici opposti (1,0) e (-1,0); al diminuire di n da 1 a 0 si hanno curve che si avvicinano alla croce formata dai due segmenti di lunghezza 2 con estremità in (-1,0) e (1,0) e con estremità (0,1) e (0,-1).

Una superellisse con n > 2 è detta anche iperellisse.

Bibliografia

• Gardner, Martin: Piet Hein's Superellipse. - in Gardner, Martin: Mathematical Carnival. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American. New York: Vintage, 1977, pp. 240 – 254.
• Johan Gielis: Inventing the circle. The geometry of nature. - Antwerpen: Geniaal Press, 2003. - ISBN 9080775614
• Cresci Luciano: Le curve matematiche tra curiosità e divertimento - Hoepli 2005

Collegamenti esterni

• Superellipse (MathWorld)
• Lamé's Super Ellipse (Java-Applet)
• Super Ellipsoid (Java-Applet)

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