Iperbole (geometria)

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In matematica, e in particolare in geometria, l'iperbole (dalla parola greca υπερβολή, esagerazione, sovrabbondanza) è una delle sezioni coniche.

Grafico di un'iperbole equilatera y=\tfrac{1}{x}.

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

  • In geometria proiettiva si definisce come l'intersezione di un cono circolare retto con un piano che taglia il cono in entrambe le sue falde.
  • In geometria descrittiva, fissati due ellissi omotetiche \Delta e \Phi su un stesso piano e non interne tra loro, l'iperbole si definisce come luogo dei centri delle ellissi omotetiche alle due ellissi date \Delta e \Phi e in modo che siano tangenti alle stesse \Delta e \Phi.
iperbole come luogo dei centri delle ellissi tangenti a due ellissi date
  • In geometria euclidea, fissati due punti detti fuochi e un numero reale positivo 2a, con 2a < d(F, F'), si definisce come il luogo geometrico dei punti del piano aventi come costante la differenza delle distanze con i fuochi.
  • In geometria analitica, un'iperbole è una curva del piano cartesiano definita da un'equazione del tipo
A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0,

tale che B^2 > 4 AC, dove tutti i coefficienti sono reali, e dove esiste più di una soluzione che definisce una coppia (x, y) di punti dell'iperbole.

L'equazione generale dell'iperbole si specializza e si semplifica in alcuni casi particolari.

Se l'iperbole soddisfa le seguenti condizioni:

  • ha gli assi coincidenti con gli assi del piano cartesiano;
  • ha il suo centro nell'origine;
  • interseca l'asse delle ascisse;

allora la sua equazione sarà del tipo:

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,

se invece l'iperbole soddisfa le prime due condizioni sopracitate, ma interseca l'asse delle ordinate, avrà un'equazione del tipo:

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1.

In entrambi i casi gli asintoti dell'iperbole hanno equazione y=\pm\frac{b}{a}x.

Se gli asintoti sono perpendicolari (e quindi, nel caso dell'iperbole avente gli assi coincidenti con gli assi cartesiani, se a=b), l'iperbole si dice iperbole equilatera. Se l'iperbole ha asintoti perpendicolari, ma non coincidenti con gli assi, allora essa sarà definita da una funzione omografica. Data un'iperbole equilatera, di asintoti x=a ed y=b, il limite della sua funzione per x che tende ad a ed y che tende a b, sarà infinito, graficamente cioè, l'iperbole non ha nessun punto di intersezione con i suoi asintoti, se non all'infinito.

Se un'iperbole equilatera viene riferita ai propri asintoti (e cioè se gli asintoti dell'iperbole coincidono con gli assi cartesiani), allora la sua equazione assume una forma molto semplice:

xy=k.

Se k è diverso da zero, a tale curva è associata la funzione di proporzionalità inversa y=\frac{k}{x}.

Se k=0 la curva degenera nell'insieme formato dai due assi cartesiani, individuati dall'equazione xy=0.

I vari elementi associati ad un'iperbole sono:

  • fuochi = due punti fissi da cui tutti i punti dell'iperbole hanno distanze la cui differenza è costante;
  • vertici = intersezioni del segmento che unisce i fuochi con i due rami dell'iperbole;
  • asintoti = due rette che si definiscono "tangenti all'infinito dell'iperbole", ovvero una coppia di rette che interseca l'iperbole in un punto all'infinito.

Equazioni[modifica | modifica wikitesto]

Equazioni cartesiane[modifica | modifica wikitesto]

L'iperbole avente centro nel punto C(x_c,y_c), (quindi traslata) ha equazione

\frac{\left( x-x_c \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-y_c \right)^2}{b^2} = 1.

Se si applica una rotazione degli assi di 90 gradi, si ottiene l'equazione:

\frac{\left( y-y_c \right)^2}{a^2} - \frac{\left( x-x_c \right)^2}{b^2} = 1.

In entrambe le formule a è detto semiasse trasverso o semiasse maggiore; è la metà della distanza tra i due rami; b è chiamato semiasse non trasverso o semiasse minore. Si noti che, qualora si faccia uso dei secondi nomi, b può essere maggiore di a; questa incongruenza viene risolta da alcuni testi invertendo le costanti a e b. In questo caso l'equazione dell'iperbole che interseca l'asse delle y viene scritta come:

\frac{\left( x-x_c \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-y_c \right)^2}{b^2} = -1

La distanza tra i due fuochi è pari a 2c dove:

c = \sqrt{a^2 + b^2}.

L'eccentricità dell'iperbole può essere definita da:

e = \frac{c}{a} = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}.

Tangenti a un'iperbole[modifica | modifica wikitesto]

I coefficienti angolari delle tangenti a un'iperbole \Gamma: \frac{(x-x_C)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-y_C)^{2}}{b^{2}} = \pm 1 condotte da un punto P(x_P,y_P) ad essa esterno si ricavano dalla risoluzione della seguente equazione di secondo grado:

 \left(x^{2}_i \mp a^{2}\right)m^{2}-2x_iy_im+y^{2}_i \pm b^{2}=0,

con x_i=x_P-x_C e y_i=y_P-y_C.

Iperbole equilatera[modifica | modifica wikitesto]

L'iperbole equilatera con centro in (0,0) ha equazione yx=k. Il caso generale, di un'iperbole equilatera traslata, è descritta da un caso particolare della cosiddetta funzione omografica di equazione y=\frac{ax+b}{cx+d}. essa ha il centro in O\left(-\frac{d}{c}; \frac{a}{c}\right) (centro della funzione omografica). inoltre gli asintoti di tale curva hanno equazione x=\frac{-d}{c} (per quanto riguarda l'asintoto verticale) e y=\frac{a}{c} per l'asintoto orizzontale.

Equazioni polari[modifica | modifica wikitesto]

r^2 = a\sec 2t
r^2 = -a\sec 2t
r^2 = a\csc 2t
r^2 = -a\csc 2t

Equazioni parametriche[modifica | modifica wikitesto]

x = a\cosh \theta;\ y = b\sinh \theta
x = a\sec \theta;\ \ y = b\tan \theta

Equazione generale delle iperboli[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione generale delle iperboli con semiasse maggiore a dove i fuochi sono posti in posizione generica nel piano e siano F_1(x_{F_1},y_{F_1}) ed F_2(x_{F_2},y_{F_2}) è rappresentata dalla seguente equazione delle coniche:

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.

I parametri sono dati dai seguenti valori:

\scriptstyle A=16a^2-4(x_{F_1}-x_{F_2})^2
\scriptstyle B=-8(x_{F_1}-x_{F_2})(y_{F_1}-y_{F_2})
\scriptstyle C=16a^2-4(y_{F_1}-y_{F_2})^2
\scriptstyle D=4(x_{F_1}-x_{F_2})(x_{F_1}^2-x_{F_2}^2+y_{F_1}^2-y_{F_2}^2)-16a^2(x_{F_1}+x_{F_2})
\scriptstyle E=4(y_{F_1}-y_{F_2})(x_{F_1}^2-x_{F_2}^2+y_{F_1}^2-y_{F_2}^2)-16a^2(y_{F_1}+y_{F_2})
\scriptstyle F=4(x_{F_1}^2+y_{F_1}^2)(x_{F_2}^2+y_{F_2}^2)-(x_{F_1}^2+x_{F_2}^2+y_{F_1}^2+y_{F_2}^2-4a^2)^2

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