Leggi di Keplero

Le tre leggi del movimento dei pianeti sono il principale contributo di Johannes Kepler, detto Keplero, all'astronomia e alla meccanica. Keplero le derivò in parte studiando le osservazioni di Tycho Brahe. Isaac Newton avrebbe più tardi verificato la validità di queste leggi alla luce della teoria della gravitazione universale.

Prima legge (1608)

Parametri caratteristici dell'orbita

La prima legge afferma che l'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.
Keplero propone un modello eliocentrico in cui non vengono più considerate le orbite circolari, le forme perfette, ed è supportato nel farlo dai dati sperimentali ottenuti da Tycho Brahe. Osserviamo che, poiché l'ellisse è una figura piana, i moti dei pianeti avvengono in un piano, detto piano orbitale. Per la Terra tale piano è detto eclittica. Nella figura a fianco è rappresentata un'orbita ellittica, con indicati i suoi parametri caratteristici: semiasse maggiore (a), semiasse minore (b), semi-distanza focale (c), eccentricità (e).
Tra questi parametri esistono le relazioni seguenti:

$c =\sqrt{a^2 - b^2}$

$e=\frac {c}{a}$

L'ellisse in figura ha un'eccentricità di circa 0,5 e potrebbe rappresentare l'orbita di un asteroide. I pianeti hanno in realtà eccentricità molto più piccole: 0,0167 per la Terra, 0,0934 per Marte e 0,2482 per Plutone (pianeta nano).
La distanza dei pianeti dal Sole non è costante, ma varia da un massimo (afelio) ad un minimo (perielio). È possibile considerare la prima legge di Keplero collegata alla conservazione del momento angolare.

Seconda legge (1609) - Legge delle aree

Illustrazione della legge delle aree

La seconda legge afferma che il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali.
Le conseguenze di questa legge sono:

• La velocità orbitale non è costante, ma varia lungo l'orbita. Le due aree evidenziate nella figura qui a fianco sono infatti uguali e vengono quindi percorse nello stesso tempo. In prossimità del perielio, dove il raggio vettore è più corto che all'afelio, l'arco di ellisse è corrispondentemente più lungo. Ne segue quindi che la velocità orbitale è massima al perielio e minima all'afelio.
• La velocità areolare è costante.
• Il momento angolare orbitale del pianeta si conserva (vedi riquadro sotto per la dimostrazione).
• La velocità lungo una determinata orbita è inversamente proporzionale al modulo del raggio vettore. Questa è una conseguenza della conservazione del momento angolare. Se L, dato dal prodotto di m, r e v_t è costante ne discende che v_t è inversamente proporzionale a r (si veda "momento angolare" per la definizione di L, m, r e v_t).
• Sul pianeta viene esercitata una forza centrale, cioè diretta secondo la congiungente tra il pianeta e il Sole. La seconda legge della dinamica per i sistemi in rotazione è
  
  $\operatorname d \mathbf L/\operatorname d t = \mathbf M$
  
  dove M è il momento meccanico applicato. Poiché L si conserva, la sua variazione è nulla e quindi anche M è nullo. Questo può accadere solo se F è parallelo ad r, cioè è diretto come la congiungente con il Sole.

La seconda legge di Keplero risulta quindi generalizzabile ad un qualsiasi moto centrale, legando l'accelerazione tangenziale alla velocità areolare. Nella figura qui a fianco OA rappresenta il raggio vettore e AB la traiettoria del pianeta nel tempo Δ t. Se Δ t è sufficientemente piccolo, AB può essere approssimato da un segmento di retta. Sia inoltre θ l'angolo tra il raggio vettore e AB. Nel tempo Δ t viene quindi descritta un'area $\Delta S = \frac {1}{2}{OA} \cdot {AB}\cdot sin(\theta)$
. La velocità areolare è quindi $v_A=lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac {\Delta S} {\Delta t}=\frac{1}{2}v r sin(\theta)$, essendo $v=lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac {AB} {\Delta t}$ la velocità orbitale istantanea. Poiché m v r sin(θ) è il modulo del momento angolare, risulta $v_A=\frac {L}{2m}$. Se v_A è costante, anche L lo è.

Terza legge (1619)

La terza legge afferma che i quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite.
Questa legge è valida anche per i satelliti che orbitano intorno ai pianeti e può essere espressa in forma matematica nel modo seguente:

$K=\frac {T^2} {a^3}$

dove a è il semiasse maggiore (o equivalentemente il raggio medio) dell'orbita, T il periodo di rivoluzione e K una costante (a volte detta di Keplero), che dipende dal corpo celeste attorno al quale avviene il moto di rivoluzione (ad esempio, se si considera il moto di rivoluzione dei pianeti del sistema solare attorno al Sole e misurando le distanze in U.A. e il tempo in anni solari, K vale 1). Per un'orbita circolare la formula si riduce a

T² = r³K

dove r è il raggio dell'orbita.

Per la cronaca: $K=\frac {4\pi^2\mu} {|k|}$

con k = Gm₁m₂ per il caso gravitazionale e μ massa ridotta.

Limiti di validità delle leggi di Keplero

Va specificato che le leggi di Keplero sono precise nella misura in cui sono soddisfatte le seguenti ipotesi:

• la massa del pianeta è trascurabile rispetto a quella del Sole;
• si possono trascurare le interazioni tra diversi pianeti (tali interazioni portano a leggere perturbazioni sulla forma delle orbite).

Voci correlate

• Velocità areolare
• Derivare le equazioni di Keplero da Newton

Bibliografia

• Frederick J. Bureche, Fisica, Milano, Principato, 1991,
• Paride Nobel, Fenomeni Fisici, Napoli, Editrice Ferraro, 1994 ISBN 88-7271-126-4

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• In questa pagina si può vedere un'animazione interattiva delle tre leggi di Keplero.

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