Cono

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Cono

In geometria il cono è un solido di rotazione che si ottiene ruotando un triangolo rettangolo intorno a uno dei suoi cateti. L'asse del cono è il cateto intorno a cui il solido è costruito; la base del cono è altresì il cerchio ottenuto dalla rotazione dell'altro cateto. Il vertice del cono è, infine, il punto dell'asse opposto a quello dell'intersezione con la sua base.

L'aggettivo che definisce gli oggetti di natura simile al cono è conico; da esso derivano anche le curve e le figure piane cosiddette coniche, ovvero risultanti dall'intersezione di un piano con un cono.

In matematica un cono può essere considerato come una piramide di base circolare, avente quindi numero infinito di facce oblique.

Nomenclatura[modifica | modifica wikitesto]

Cono circolare retto (a sinistra) e cono circolare obliquo (a destra). Nel primo l'apotema è colorato in giallo. Nel secondo, l'altezza h non cade nel centro del cerchio di base, essendo l'asse a non ortogonale. L'apotema è colorato in viola.

Un cono il cui vertice è tagliato da un piano parallelo alla sua base è detto tronco di cono. Il termine cono viene talvolta esteso a figure più generali:

  • Un cono ellittico è un cono che ha per base un'ellisse. Analogamente, un cono circolare ha come base un cerchio.
  • Un cono obliquo è un cono che non ha l'asse ortogonale alla base. Un cono retto ha l'asse ortogonale.
  • Un cono equilatero è un cono che ha l'apotema equivalente al diametro di base.


Il termine "cono" senza ulteriori specificazioni indica generalmente un cono circolare retto.

Formule[modifica | modifica wikitesto]

Volume[modifica | modifica wikitesto]

Il volume V di un cono con altezza h e con base di raggio r è {{1\over 3}} del volume del cilindro che ha le stesse dimensioni. Quindi:

V= {{\pi \cdot r^2 \cdot h \over 3}}.

Se la base è ellittica di semiassi X e Y:

V= {{\pi \cdot XY \cdot h \over 3}}.

Si può calcolare il volume del cono per mezzo del calcolo integrale come il volume del solido ottenuto dalla rotazione di una retta y=mx con coefficiente angolare positivo (per semplicità passante per l'origine degli assi) attorno all'asse delle ascisse. Si ha:

V=\int_0^h\pi (mx)^2 dx,
V= {{\pi \cdot m^2 \cdot h^3 \over 3}}.

Essendo \gamma l'angolo acuto formato dalla retta y=mx con l'asse delle ascisse, da considerazioni trigonometriche si ha che:

r=  h \cdot \tan \gamma,

e poiché il coefficiente angolare m è uguale alla tangente goniometrica di \gamma, elevando al quadrato ambo i membri della precedente equazione si ha:

r^2= m^2h^2,

da cui si ottiene:

V= {{\pi \cdot r^2 \cdot h \over 3}}.

Superficie totale[modifica | modifica wikitesto]

La superficie totale di un cono è data dalla somma della superficie della base S_b con la superficie laterale S_l:

S_t=S_b+S_l

dove:

S_b=\pi \cdot r^2
S_l= \pi \cdot r \cdot a

avendo definito l'apotema a del cono come la radice positiva dell'espressione:

a = \sqrt{{r^2+h^2}}.

Sostituendo nella formula, si ottiene infine:

S_t=\pi r (r+a)

Centro di massa[modifica | modifica wikitesto]

Il centro di massa di un cono di densità uniforme è sull'asse, ad altezza {{1\over 4}} h, partendo dalla base.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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