Solido di rotazione

Un toro

Un solido di rotazione o di rivoluzione è la figura ottenuta ruotando attorno ad un asse n una regione piana K, sul cui piano giace l'asse stesso.

Ad esempio, il toro è ottenuto dalla rotazione di un cerchio attorno ad un asse esterno al cerchio medesimo.

Solidi ottenuti dalla rotazione di trapezodi

La figura piana che ruota è spesso un trapezoide con la base sull'asse. La sfera ad esempio è il solido di rotazione del semicerchio intorno al diametro; il cilindro è generato dal rettangolo.

Rotazione di una curva

In questo caso il solido è delimitato da una superficie laterale ottenuta ruotando una curva attorno all'asse (superficie di rotazione), ed eventualmente da due basi circolari perpendicolari a tale asse.

Definizione come luogo di punti

A meno di rotazioni dello spazio tridimensionale, l'asse si può considerare coincidente con z in modo da poter esprimere il solido in coordinate cilindriche:

$T= \{ (x,y,z) | (x,y,z) \in \mathbb{R}^3, \ a \le z \le b \and 0 \leq \sqrt{x^2+y^2} \leq f(z) \}$

dove a e b>a sono due parametri reali, $\rho=\rho(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ è una coordinata cilindrica, $f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}$ è una funzione non negativa continua, il cui grafico è la curva della definizione.

Volume e superficie

Per approfondire, vedi Teoremi di Pappo-Guldino.

Il volume V del solido si può ottenere idealmente "tagliandolo" in dischi di spessore dz lungo l'asse z (Teorema di Fubini). Il disco a quota z ha volume pari all'area del cerchio di raggio f(z) moltiplicata per lo spessore dz.

Sommando i vari contributi con dz infinitesimo (ovvero integrando) si ha

$V=\int_a^b\pi f(z)^2 dz$

La superficie A:

$A=2\pi\int_a^b f(z) \sqrt{1+f'(z)^2} \, dz$

Voci correlate

• Cilindroide
• Integrale multiplo
• Teoria della misura

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