Teoremi di Pappo-Guldino

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In matematica, i teoremi di Pappo-Guldino (o teoremi del centroide di Pappo) sono due teoremi collegati che permettono di calcolare la superficie (primo teorema) e il volume (secondo teorema) di solidi di rotazione.

Il primo teorema di Pappo-Guldino[modifica | modifica wikitesto]

L'area di una superficie di rotazione ottenuta ruotando una curva piana \gamma di un angolo \alpha \in [0,2\pi ] attorno ad un asse ad essa esterno e complanare è pari a:

 A = \alpha  \cdot d \cdot l\left( \gamma  \right)

dove d è la distanza del baricentro della curva dall'asse e l\left( \gamma \right) è la lunghezza di \gamma

Secondo teorema di Pappo-Guldino[modifica | modifica wikitesto]

Il volume di un solido di rotazione \Omega ottenuto ruotando una figura piana K di un angolo \alpha \in ]0,2\pi ] attorno ad un asse ad essa esterno e complanare è pari a:

 V = \alpha \cdot d \cdot A

dove d è la distanza del baricentro della figura piana dall'asse e A è l'area di K.

Dimostrazione del secondo teorema di Pappo-Guldino[modifica | modifica wikitesto]

Sia K \in\mathbb{R}^2 insieme decomponibile in insiemi normali nel semipiano xy con x\geq0. Sia inoltre A la misura di questo insieme. Il solido di rotazione ottenuto può essere facilmente rappresentato in coordinate cilindriche nel modo seguente: \theta \in [0,\alpha ], (\rho,z) \in K. Ne consegue che per definizione: V=m_3(\Omega)=\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int_\Omega\rho\;d\theta\;d\rho\;dz=\int_0^\alpha d\theta \cdot \int\!\!\!\!\int_K\rho\;d\rho\;dz sfruttando le formule di riduzione. Ma il secondo integrale è proprio uguale alla distanza del baricentro di K dall'asse di rotazione (nel nostro caso z) moltiplicata per la sua misura bidimensionale, ovvero l'area A.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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