Teorema di Fubini

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In analisi matematica, il teorema di Fubini, chiamato in onore del matematico italiano Guido Fubini, fornisce una condizione sufficiente affinché sia possibile effettuare l'inversione dell'ordine di integrazione.

Una delle più note applicazioni del teorema di Fubini è la valutazione dell'integrale di Gauss, un risultato fondamentale per la teoria della probabilità.

Il teorema[modifica | modifica sorgente]

Siano (X,\mathfrak{F},\mu) e (Y,\mathfrak{G},\lambda) due spazi di misura. Ad ogni funzione f(x,y) che sia \mathfrak{G} \times \mathfrak{F}-misurabile su X \times Y e ad ogni x \in X si può associare una funzione f_x definita in Y nel seguente modo:

f_x(y) = f(x,y) \

Analogamente si definisce per ogni y \in Y la funzione f_y tale che:

f_y(x) = f(x,y) \

Entrambe le funzioni sono rispettivamente \mathfrak{F}-misurabile e \mathfrak{G}-misurabile.[1]

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Il teorema afferma che:[2]

  • Se la funzione f è positiva e se:
\phi(x) = \int_Y f_x d\lambda \qquad \psi(y) = \int_X f_y d\mu
allora \phi è \mathfrak{F}-misurabile e \psi è \mathfrak{G}-misurabile, inoltre:
\int_X \phi d\mu = \int_{X \times Y} f d(\mu \times \lambda) = \int_Y \psi d\lambda
dove d(\mu \times \lambda) è la misura prodotto delle due misure \mu e \lambda .
  • Se la funzione f è complessa e se:
\phi^*(x) = \int_Y |f_x| d\lambda \qquad \int_X \phi^*d\mu < \infty
allora f\in L^1(\mu \times \lambda).
  • Se la funzione f\in L^1(\mu \times \lambda) allora f_x \in L^1(\lambda) per quasi tutti gli x \in X e f_y \in L^1(\mu) per quasi tutti gli y \in Y. Inoltre, per le funzioni definite in precedenza quasi ovunque si ha che \phi(x) \in L^1(\mu) e \psi(y) \in L^1(\lambda).

Conseguenze[modifica | modifica sorgente]

Il primo punto del teorema può essere scritto in modo equivalente nel seguente modo:

\int_X d\mu(x) \int_Y f(x,y) d\lambda(y) = \int_Y d\lambda(y) \int_X f(x,y) d\mu(x) \

mentre le restanti due affermazioni comportano che se f(x,y) è una funzione \mathfrak{G} \times \mathfrak{F}-misurabile e se:

\int_X d\mu(x) \int_Y |f(x,y)| d\lambda(y)< \infty

allora gli integrandi nella relazione precedente sono finiti e uguali.[3]

Corollario[modifica | modifica sorgente]

Se la funzione:

 f(x,y) = h(x)g(y) \

soddisfa le condizioni del teorema di Fubini, allora:

\left(\int_A h(x)\, dx\right)\left( \int_B g(y)\, dy\right) = \int_{A\times B} h(x)g(y)\,d(x,y)

quindi l'integrale doppio è riconducibile al prodotto di due integrali semplici.

Il teorema di Tonelli[modifica | modifica sorgente]

Il teorema di Tonelli, così chiamato in onore del matematico italiano Leonida Tonelli, è un teorema molto simile a quello di Fubini. La conclusione dei due teoremi è la stessa, ma le ipotesi sono diverse. L'enunciato del teorema di Tonelli afferma che l'integrale di una funzione non negativa sul prodotto di due spazi sigma-finiti (rispetto alla misura prodotto) coincide con l'integrale iterato rispetto alle due misure. In particolare, se l'integrale iterato ha valore finito si può applicare il teorema di Tonelli e di conseguenza il valore dell'integrale è indipendente dall'ordine di integrazione.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 138
  2. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 140
  3. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 141

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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