Misura prodotto

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In mathematica, una misura prodotto è una misura definita sulla sigma-algebra prodotto di due spazi di misura.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Siano (X,\mathfrak{F},\mu) e (Y,\mathfrak{G},\lambda) due spazi di misura. Ad ogni funzione f definita su X \times Y e ad ogni x \in X si può associare una funzione f_x definita in Y nel seguente modo:

f_x(y) = f(x,y) \

Analogamente si definisce per ogni y \in Y la funzione f_y tale che:

f_y(x) = f(x,y) \

Entrambe le funzioni sono rispettivamente \mathfrak{F}-misurabile e \mathfrak{G}-misurabile.[1]

Per ogni insieme aperto V \in \mathfrak{G} \times \mathfrak{F} si definisce inoltre:

Q = \{(x,y): f(x,y)\in V \} \qquad Q_x = \{y: f_x(y)\in V \}

Si dimostra che se:

\phi(x) = \lambda(Q_x) \qquad \psi(y) = \mu(Q_y) \qquad \forall x\in X \quad \forall y\in Y

allora \phi è \mathfrak{F}-misurabile e \psi è \mathfrak{G}-misurabile, e si ha:[2]

\int_X \phi d\mu = \int_Y \psi d\lambda \

Si definisce la misura \mu \times \lambda prodotto delle due misure \mu e \lambda l'integrale:[3]

(\mu \times \lambda) (Q) = \int_X \lambda (Q_x) d\mu(x) = \int_Y \mu(Q_y) d\lambda (y)

Tale misura è definita sullo spazio (X \times Y, \mathfrak{G} \times \mathfrak{F}) ed è l'unica tale per cui valga la seguente proprietà:

 (\mu \times \lambda)(B_1 \times B_2) = \mu(B_1) \lambda(B_2) \qquad \forall B_1 \in \mathfrak{F},\ B_2 \in \mathfrak{G}

L'esistenza di questa misura è garantita dal teorema di Hahn-Kolmogorov, mentre l'unicità è fornita solamente nel caso incui sia (X,\mathfrak{F},\mu) che (Y,\mathfrak{G},\lambda) sono σ-finiti.

La misura di Borel sullo spazio euclideo \R^n può essere ottenuta come il prodotto di n copie della misura di Borel sulla retta reale \R.

La costruzione opposta alla quella della misura prodotto è la disintegrazione, che in alcuni casi "splitta" una data misura in una famiglia di misure che possono essere integrate per fornire la misura di partenza.

Il Teorema di Fubini[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema di Fubini.

Il teorema di Fubini stabilisce quali siano le condizioni tali per cui è possibile scambiare l'ordine di integrazione per funzioni misurabili su \mathfrak{G} \times \mathfrak{F}. Siano (X,\mathfrak{F},\mu) e (Y,\mathfrak{G},\lambda) due spazi di misura. Ad ogni funzione f(x,y) che sia \mathfrak{G} \times \mathfrak{F}-misurabile su X \times Y e ad ogni x \in X si può associare una funzione f_x definita in Y nel seguente modo:

f_x(y) = f(x,y) \

Analogamente si definisce per ogni y \in Y la funzione f_y tale che:

f_y(x) = f(x,y) \

Se la funzione f è positiva e se:[4]

\phi(x) = \int_Y f_x d\lambda \qquad \psi(y) = \int_X f_y d\mu

allora \phi è \mathfrak{F}-misurabile e \psi è \mathfrak{G}-misurabile, inoltre:

\int_X \phi d\mu = \int_{X \times Y} f d(\mu \times \lambda) = \int_Y \psi d\lambda

In modo equivalente si può scrivere:

\int_X d\mu(x) \int_Y f(x,y) d\lambda(y) = \int_Y d\lambda(y) \int_X f(x,y) d\mu(x) \

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 138
  2. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 139
  3. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 140
  4. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 141

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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