Funzione misurabile

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In analisi matematica, una funzione misurabile è un'applicazione tra due spazi misurabili compatibile con la loro struttura di σ-algebra.

La richiesta di misurabilità di una funzione è in genere un'ipotesi di regolarità minima, ed è molto spesso richiesta per l'applicazione dei teoremi e dei metodi dell'analisi matematica e della teoria della misura.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia  (X, \mathfrak{F}) uno spazio misurabile e  (Y, \mathfrak{G}) uno spazio topologico. Un'applicazione  f: X \rightarrow Y viene detta misurabile o (\mathfrak{F},\mathfrak{G})-misurabile se la controimmagine di ogni elemento di  \mathfrak{G} è in  \mathfrak{F} , ossia se f^{-1}(V) è un insieme misurabile di X per ogni aperto V di Y:[1]

f^{-1}(A) \in \mathfrak{F} \qquad \forall A \in \mathfrak{G}

Utilizzando il linguaggio della Teoria delle categorie possiamo, più concisamente, definire una funzione misurabile come un morfismo di spazi misurabili.

Continuità delle funzioni misurabili[modifica | modifica sorgente]

I principali teoremi che definiscono le proprietà della continuità delle funzioni misurabili sono il teorema di Lusin ed il teorema di Vitali. Il primo afferma che ogni funzione misurabile è una funzione continua su quasi tutto il dominio, il secondo ha come conseguenza che esistono sottoinsiemi di \R che non sono misurabili secondo Lebesgue, assumendo l'assioma della scelta.

Si assume nel seguito che X è uno spazio di Hausdorff localmente compatto e che \mu è la misura definita nel teorema di rappresentazione di Riesz, ad esempio la misura di Lebesgue.

Teorema di Lusin[modifica | modifica sorgente]

Sia f una funzione misurabile complessa su X e sia A un insieme tale che \mu(A) < \infty e f(x) = 0 se x non appartiene ad A. Sia \epsilon > 0. Allora esiste una funzione g \in C_c (X) tale che:[2]

 \mu(\{x: f(x) \ne g(x)\}) < \epsilon

Inoltre è possibile scrivere:

 \sup_{x \in X}|g(x)| \le \sup_{x \in X} |f(x)|

Teorema di Vitali[modifica | modifica sorgente]

Sia f\in L^1(\mu) a valori reali e sia \epsilon > 0. Allora esistono due funzioni u e v su X tali che u \le f \le v, e tali che u è inferiormente limitata e semicontinua, v è superiormente limitata e semicontinua, e vale inoltre la relazione:[3]

 \int_X (v-u) d\mu < \epsilon

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • Siano  (X, \mathfrak{F}) e  (Y, \mathfrak{G}) due spazi boreliani, ossia  X ed  Y hanno una struttura topologica, ed \mathfrak{F}, \mathfrak{G} sono le σ-algebre generate dalle relative topologie,. Allora ogni funzione continua da  X ad  Y è misurabile.
  • Siano  (X, \mathfrak{F}) e  (Y, \mathfrak{G}) due spazi boreliani. I limiti puntuali di funzioni misurabili sono funzioni misurabili. Vale a dire, sia \{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} una successione di funzioni misurabili  f_n: X \mapsto Y (più in generale, si può effettuare la medesima costruzione per una rete), e si supponga che le f_n convergano puntualmente ad f, ossia che per ogni x \in X esista:
\lim_{n \to \infty} f_n(x) =: f(x)
Allora  f è una funzione misurabile.
  • Siano  (X, \mathfrak{F}),  (Y, \mathfrak{G}),  (Z, \mathfrak{H}) degli spazi misurabili, e si supponga che \mathfrak{F} e \mathfrak{G} contengano tutti i singleton,[4] ossia tutti gli insiemi costituiti da un solo elemento. Sia (X\times Y,\mathfrak{F}\times\mathfrak{G}) lo spazio misurabile prodotto di (X, \mathfrak{F}) per (Y, \mathfrak{G}). Se f:X\times Y \mapsto Z è una funzione (\mathfrak{F}\times\mathfrak{G},\mathfrak{H})-misurabile, allora per ogni fissato x \in X la funzione f_{(x)}, talvolta detta sezione di f lungo x e data da:
f_{(x)}:Y \mapsto Z \qquad f_{(x)}(y):=f(x,y)
è (\mathfrak{G},\mathfrak{F})-misurabile.

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

  • La nozione di funzione misurabile è stata introdotta principalmente con lo scopo di formalizzare la teoria dell'integrazione. Per poter definire l'integrale di una funzione è necessario che essa abbia delle proprietà di regolarità, tra cui, appunto, la misurabilità. Dato uno spazio di misura (X,\mathfrak{F},\mu), per definire l'integrale rispetto a \mu di una funzione a valori reali dovremmo richiedere che tale funzione sia (\mathfrak{F},\mathfrak{B})-misurabile (qui \mathfrak{B} è la σ-algebra di Borel dei numeri reali).[5]
  • Le funzioni misurabili giocano un ruolo fondamentale nella teoria dei sistemi dinamici. In questo ambito, esse sono anche definite osservabili del sistema, poiché nella formalizzazione matematica di un fenomeno fisico tramite un sistema dinamico, le funzioni misurabili rappresentano proprio le quantità che possiamo effettivamente "osservare e misurare".
  • In teoria della probabilità, un processo stocastico è una funzione misurabile da uno spazio di probabilità a valori in un opportuno insieme, generalmente uno spazio funzionale. Nonostante vi siano in matematica diverse definizioni non-equivalenti di processo stocastico, la misurabilità è sempre la richiesta fondamentale perché una funzione su di uno spazio di probabilità sia detta "processo stocastico".

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • L'identità è una funzione misurabile su un qualsiasi spazio misurabile. Più in generale, essa è misurabile da (X,\mathfrak{F}) a (X,\mathfrak{G}) se e solo se \mathfrak{G}\subset \mathfrak{F}.
  • Nelle questioni riguardanti la misurabilità di funzioni a valori reali, in genere i numeri reali si considerano implicitamente equipaggiati con la loro σ-algebra di Borel \mathfrak{B}. Ad esempio, dato uno spazio misurabile (X,\mathfrak{F}), una funzione f:X \mapsto \mathbb{R} si dirà misurabile se essa è - con la notazione introdotta sopra - (\mathfrak{F},\mathfrak{B})-misurabile. Si noti che in questo caso, affinché sia garantita la misurabilità di una funzione a valori reali, è sufficiente che accada f^{-1}\big((a,b)\big)\in \mathfrak{F} per ogni intervallo reale (a,b).
\chi_E(x):= \begin{cases}1 \quad  \mbox{se } x \in E \\ 0 \quad  \mbox{se } x \not\in E \end{cases}
è misurabile (rispetto alla σ-algebra di Borel sui numeri reali). Tale semplice osservazione si utilizza, ad esempio, in una possibile definizione di integrale (dapprima esso si definisce per funzioni caratteristiche, quindi si necessita della loro misurabilità).

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 8
  2. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 53
  3. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 54
  4. ^ Si noti che questa ipotesi è molto debole e generalmente soddisfatta dalle σ-algebre comunemente utilizzate. Essa ad esempio è automaticamente soffisfatta dalle σ-algebre boreliane di spazi T1.
  5. ^ Si noti tuttavia che affinché gli integrali risultino ben definiti, la misurabilità della funzione integranda è una condizione necessaria ma non sufficiente. Infatti, in generale si dovrà assumere che l'integranda f sia anche integrabile.Spesso, tuttavia, quest'ultima condizione (l'integrabilità) è verificabile esplicitamente. Ad esempio, se \mu è una misura finita, allora ogni funzioni misurabile e limitata è integrabile.
  6. ^ Si veda il lemma di misurabilità di funzioni continue.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica