Funzione misurabile

In analisi matematica, una funzione misurabile è un'applicazione tra due spazi misurabili compatibile con la loro struttura di σ-algebra.

La richiesta di misurabilità di una funzione è in genere un'ipotesi di regolarità minima, ed è molto spesso richiesta per l'applicazione dei teoremi e dei metodi dell'analisi matematica e della teoria della misura.

Definizione matematica

Sia $(X, \mathfrak{F})$ uno spazio misurabile e $(Y, \mathfrak{G})$ uno spazio topologico. Un'applicazione $f: X \rightarrow Y$ viene detta misurabile o $(\mathfrak{F},\mathfrak{G})$-misurabile se la controimmagine di ogni elemento di $\mathfrak{G}$ è in $\mathfrak{F}$, ossia se $f^{-1}(V)$ è un insieme misurabile di $X$ per ogni aperto V di $Y$:

$f^{-1}(A) \in \mathfrak{F} \qquad \forall A \in \mathfrak{G}$

Utilizzando il linguaggio della Teoria delle categorie possiamo, più concisamente, definire una funzione misurabile come un morfismo di spazi misurabili.

Continuità delle funzioni misurabili

I principali teoremi che definiscono le proprietà della continuità delle funzioni misurabili sono il teorema di Lusin ed il teorema di Vitali. Il primo afferma che ogni funzione misurabile è una funzione continua su quasi tutto il dominio, il secondo ha come conseguenza che esistono sottoinsiemi di $\R$ che non sono misurabili secondo Lebesgue, assumendo l'assioma della scelta.

Si assume nel seguito che $X$ è uno spazio di Hausdorff localmente compatto e che $\mu$ è la misura definita nel teorema di rappresentazione di Riesz, ad esempio la misura di Lebesgue.

Teorema di Lusin

Sia $f$ una funzione misurabile complessa su $X$ e sia A un insieme tale che $\mu(A) < \infty$ e $f(x) = 0$ se $x$ non appartiene ad A. Sia $\epsilon > 0$. Allora esiste una funzione $g \in C_c (X)$ tale che:

$\mu(\{x: f(x) \ne g(x)\}) < \epsilon$

Inoltre è possibile scrivere:

$\sup_{x \in X}|g(x)| \le \sup_{x \in X} |f(x)|$

Teorema di Vitali

Sia $f\in L^1(\mu)$ a valori reali e sia $\epsilon > 0$. Allora esistono due funzioni $u$ e $v$ su $X$ tali che $u \le f \le v$, e tali che $u$ è inferiormente limitata e semicontinua, $v$ è superiormente limitata e semicontinua, e vale inoltre la relazione:

$\int_X (v-u) d\mu < \epsilon$

Proprietà

• Siano $(X, \mathfrak{F})$ e $(Y, \mathfrak{G})$ due spazi boreliani, ossia $X$ ed $Y$ hanno una struttura topologica, ed $\mathfrak{F}$, $\mathfrak{G}$ sono le σ-algebre generate dalle relative topologie,. Allora ogni funzione continua da $X$ ad $Y$ è misurabile.

• Siano $(X, \mathfrak{F})$ e $(Y, \mathfrak{G})$ due spazi boreliani. I limiti puntuali di funzioni misurabili sono funzioni misurabili. Vale a dire, sia $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ una successione di funzioni misurabili $f_n: X \mapsto Y$ (più in generale, si può effettuare la medesima costruzione per una rete), e si supponga che le $f_n$ convergano puntualmente ad $f$, ossia che per ogni $x \in X$ esista:

$\lim_{n \to \infty} f_n(x) =: f(x)$

Allora $f$ è una funzione misurabile.

• Siano $(X, \mathfrak{F})$, $(Y, \mathfrak{G})$, $(Z, \mathfrak{H})$ degli spazi misurabili, e si supponga che $\mathfrak{F}$ e $\mathfrak{G}$ contengano tutti i singleton, ossia tutti gli insiemi costituiti da un solo elemento. Sia $(X\times Y,\mathfrak{F}\times\mathfrak{G})$ lo spazio misurabile prodotto di $(X, \mathfrak{F})$ per $(Y, \mathfrak{G})$. Se $f:X\times Y \mapsto Z$ è una funzione $(\mathfrak{F}\times\mathfrak{G},\mathfrak{H})$-misurabile, allora per ogni fissato $x \in X$ la funzione $f_{(x)}$, talvolta detta sezione di $f$ lungo $x$ e data da:

$f_{(x)}:Y \mapsto Z \qquad f_{(x)}(y):=f(x,y)$

è $(\mathfrak{G},\mathfrak{F})$-misurabile.

Applicazioni

Per approfondire, vedi integrale, Sistema dinamico e processo stocastico.

• La nozione di funzione misurabile è stata introdotta principalmente con lo scopo di formalizzare la teoria dell'integrazione. Per poter definire l'integrale di una funzione è necessario che essa abbia delle proprietà di regolarità, tra cui, appunto, la misurabilità. Dato uno spazio di misura $(X,\mathfrak{F},\mu)$, per definire l'integrale rispetto a $\mu$ di una funzione a valori reali dovremmo richiedere che tale funzione sia $(\mathfrak{F},\mathfrak{B})$-misurabile (qui $\mathfrak{B}$ è la σ-algebra di Borel dei numeri reali).

• Le funzioni misurabili giocano un ruolo fondamentale nella teoria dei sistemi dinamici. In questo ambito, esse sono anche definite osservabili del sistema, poiché nella formalizzazione matematica di un fenomeno fisico tramite un sistema dinamico, le funzioni misurabili rappresentano proprio le quantità che possiamo effettivamente osservare e, appunto, misurare.

• In teoria della probabilità, un processo stocastico è una funzione misurabile da uno spazio di probabilità a valori in un opportuno insieme, generalmente uno spazio funzionale. Nonostante vi siano in matematica diverse definizioni non-equivalenti di processo stocastico, la misurabilità è sempre la richiesta fondamentale perché una funzione su di uno spazio di probabilità sia detta processo stocastico.

• Lo studio di funzioni misurabili su spazi misurabili prodotto è importante in diversi settori della matematica come, ad esempio, nei risultati riguardanti gli integrali multipli e -nella teoria della probabilità- le variabili aleatorie indipendenti, l'integrazione stocastica e i processi stocastici in generale.

Esempi

• L'identità è una funzione misurabile su un qualsiasi spazio misurabile. Più in generale, essa è misurabile da $(X,\mathfrak{F})$ a $(X,\mathfrak{G})$ se e solo se $\mathfrak{G}\subset \mathfrak{F}$.

• Nelle questioni riguardanti la misurabilità di funzioni a valori reali, in genere i numeri reali si considerano implicitamente equipaggiati con la loro σ-algebra di Borel $\mathfrak{B}$. Ad esempio, dato uno spazio misurabile $(X,\mathfrak{F})$, una funzione $f:X \mapsto \mathbb{R}$ si dirà misurabile se essa è - con la notazione introdotta sopra - $(\mathfrak{F},\mathfrak{B})$-misurabile. Si noti che in questo caso, affinché sia garantita la misurabilità di una funzione a valori reali, è sufficiente che accada $f^{-1}\big((a,b)\big)\in \mathfrak{F}$ per ogni intervallo reale $(a,b)$.

• Se $(X,\mathfrak{F})$ e $(\Psi,\mathfrak{G})$ sono due spazi boreliani, allora ogni funzione continua è misurabile.

• Se $E \subset X$ è un insieme misurabile, allora la funzione caratteristica o funzione indicatrice di $E$, denotata con $\chi_E$ e definita da:

$\chi_E(x):= \begin{cases}1 \quad \mbox{se x appartiene ad E} \\ 0 \quad \mbox{se x non appartiene ad E} \end{cases}$,

è misurabile (rispetto alla σ-algebra di Borel sui numeri reali, si veda sopra). Tale semplice osservazione si utilizza, ad esempio, in una possibile definizione di integrale (dapprima esso si definisce per funzioni caratteristiche, quindi si necessita della loro misurabilità).

Bibliografia

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341
• Patrick Billingsley, Probability and measure, 3rd edition, New York, John Wiley & Sons, 1995. ISBN 0-471-00710-2.

• Donald L. Cohn, Measure Theory, Boston, Birkhäuser, 1980. ISBN 0-8493-7157-0

• Lawrence C. Evans, Measure Theory and fine properties of functions, Boca Raton, CRC Press, 1992. ISBN 0-8176-3003-1

• Paul R. Halmos, Measure Theory, New York, Springer-Verlag, 1974. ISBN 0-387-90088-8

Voci correlate

• Integrale
• Sigma-algebra
• Spazio misurabile
• Spazio di misura
• Teoria della misura
• Algebra di Borel
• Processo stocastico
• Sistema dinamico

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