Assioma di separazione

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Nota disambigua – Se stai cercando l'assioma in teoria degli insiemi, vedi Schema di assiomi di specificazione.

Uno spazio topologico è un oggetto matematico molto generico, che può modellizzare tutti gli oggetti contenuti nello spazio euclideo, gli spazi metrici, e la maggior parte degli spazi di funzioni. Molti teoremi sugli spazi topologici necessitano di alcune ipotesi minime, che sono soddisfatte negli spazi metrici o euclidei. Queste ipotesi sono gli assiomi di separazione: questi chiedono generalmente che la topologia sia sufficientemente ricca da distinguere punti ed eventualmente chiusi disgiunti.

[modifica] Assiomi

I principali assiomi di separabilità sono indicati con la lettera "T" seguita da un numero progressivo. La lettera "T" viene dal tedesco "Trennung", che vuol dire proprio separazione.

Sia X uno spazio topologico. La lista di assiomi è la seguente. Ciascun assioma di tipo T_x è un raffinamento del precedente.

X è T₀ se per ogni coppia di punti x e y di X esiste un aperto U che contiene x e non contiene y, o viceversa (in altre parole, la topologia distingue i punti).
X è T₁ se per ogni coppia di punti x e y di X esistono due aperti U e V tali che U contiene x e non y, mentre V contiene y e non x (in altre parole, i punti sono chiusi)
X è T₂ o di Hausdorff se per ogni coppia di punti x e y di X esistono due aperti U e V disgiunti che li contengono rispettivamente
X è regolare se per ogni punto x e chiuso F disgiunti esistono due aperti U e V disgiunti che li contengono rispettivamente
X è T₃ se è T₀ e regolare (implica T₂)
X è completamente regolare se per ogni punto x e chiuso F disgiunti esiste una funzione continua a valori reali che vale 0 su F e 1 su x (implica la regolarità)
X è T_3½ se è T₀ e completamente regolare (implica T₃)
X è normale se per ogni coppia di chiusi disgiunti F e G esistono due aperti disgiunti U e V che li contengono rispettivamente (implica la completa regolarità^[1])
X è T₄ se è T₁ e normale (implica T₃ e T_3½^[2])

L'ipotesi che lo spazio sia T₀ nelle definizioni di T₃ e T_3½ o che sia T₁ nella definizione di T₄ fa sì che ciascuno di questi assiomi sia un raffinamento dei precedenti.

[modifica] Esempi

Ogni spazio metrico è di Hausdorff.
Uno spazio topologico con la topologia banale è T₀ solo se consta di un punto solo.
La retta avente come aperti tutte le semirette x>d al variare di d fra i numeri reali è T₀ ma non T₁.
La topologia cofinita su un insieme infinito di punti è T₁ ma non T₂.
La topologia di Zariski, di fondamentale importanza in geometria algebrica, generalmente non è T₂.

[modifica] Note

^ La dimostrazione è immediata conseguenza della profonda proprietà del Lemma di Urysohn, di non facile dimostrazione.
^ Per quest'ultima vale quanto già detto per gli spazi normali.