Topologia di sottospazio

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In topologia, un sottoinsieme di uno spazio topologico eredita anch'esso una topologia, detta topologia di sottospazio o più semplicemente topologia indotta.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Se Y è un sottoinsieme di uno spazio topologico X, la topologia indotta su Y dalla topologia su X è la seguente: un sottoinsieme U di Y è aperto se e solo se esiste un aperto V di X tale che V\cap Y=U. In altre parole, gli aperti di Y sono le intersezioni degli aperti di X (cioè gli aperti V) con Y. [1][2] La topologia indotta si dice anche topologia relativa di Y in X.

Normalmente si assume che un sottoinsieme di uno spazio topologico abbia la topologia indotta. Considerato come spazio topologico con la topologia relativa, Y si dice sottospazio topologico (o brevemente sottospazio) di X, mentre X si dice spazio ambiente.

Proprietà caratteristica della topologia del sottoinsieme.

Alternativamente, si può definire la topologia su Y in uno dei modi seguenti:

  • La topologia su Y è la meno fine fra tutte quelle che rendono la mappa inclusione i\colon Y\to X continua.
  • La topologia su Y è l'unica che soddisfi la seguente proprietà universale: Per ogni spazio topologico Z una applicazione f\colon Z\to Y è continua se e solo se lo è la sua composizione i\circ f\colon Z\to X con l'inclusione i\colon Y\to X.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • Anche i numeri razionali \mathbb{Q} vengono normalmente considerati con la topologia indotta dai numeri reali \mathbb{R}, ma questa non è discreta.
  • Consideriamo l'intervallo I=[0,1] con la topologia indotta da \mathbb{R}. Il sottoinsieme (0,1] è aperto in I ma non in \mathbb{R}.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • Intersecando tutti gli aperti di una base di X con Y si ottiene una base per Y.
  • Se X è uno spazio metrico, la metrica ristretta ad Y induce la topologia del sottoinsieme.
  • Se X è compatto e Y è chiuso allora Y è anch'esso compatto.
  • Se X è di Hausdorff allora anche Y lo è.
  • Gli insiemi chiusi di Y sono le intersezioni di Y con gli insiemi chiusi di X.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ E. Sernesi, op. cit., p. 42
  2. ^ C. Kosniowski , op. cit., p. 23

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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