Corpo con manici

Un corpo orientabile con 3 manici. Tagliando lungo i tre dischi bidimensionali disegnati in alto si ottiene un disco tridimensionale. Tagliando lungo uno dei dischi sottostanti si ottiene invece una varietà sconnessa.

In geometria, un corpo con manici è uno spazio topologico ottenuto agganciando alcuni "manici" alla palla tridimensionale.

Si tratta di un oggetto usato in topologia della dimensione bassa, specialmente nello studio delle 3-varietà.

Definizione

Un corpo con tre manici

Un corpo con $k$ manici è una particolare 3-varietà con bordo. Può essere definita in modo equivalente in uno dei modi seguenti:

• Una 3-varietà con bordo $M$ contenente $k$ dischi disgiunti propriamente immersi $D_1,\ldots,D_k$ tali che la varietà ottenuta tagliando $M$ lungo questi è omeomorfa al disco

$D = \{x\in\R^3\ |\ |x|\leq 1\}.$

• La 3-varietà con bordo $M$ ottenuta scegliendo nel bordo $\partial D$ del disco $2k$ dischi 2-dimensionali disgiunti e incollandoli a coppie.
• La somma connessa al bordo di $k$ oggetti, che possono essere tori solidi e bottiglie di Klein solide.

Il numero $k$ è il genere del corpo con manici.

Orientabilità

Il corpo con manici è orientabile se è soddisfatta una di queste richieste equivalenti:

• Il corpo con manici è omeomorfo ad un sottoinsieme di $\R^3$.
• Il corpo è ottenuto incollando dischi tramite mappe che invertono l'orientazione.
• Il corpo è somma connessa di soli tori solidi

Spesso per "corpo con manici" si intende implicitamente un corpo con manici orientabile.

Proprietà

Un corpo con manici di genere 2 è la somma connessa al bordo di due tori solidi.

Un corpo con manici è uno spazio compatto.

Bordo

Il bordo del corpo con manici di genere $k$ è una superficie compatta e senza bordo. Se il corpo è orientabile, la superficie è orientabile e di genere $k$. Altrimenti la superficie è non orientabile e di genere $2k$.

Equivalenza omotopica

Un corpo con manici di genere $k$ è omotopicamente equivalente ad un grafo. La sua caratteristica di Eulero è $1-k$.

Voci correlate

• Toro (geometria)
• Somma connessa

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