Schema simpliciale

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In matematica, uno schema simpliciale è un oggetto definito usando la teoria degli insiemi, usato soprattutto per modellizzare in modo astratto e combinatorio uno spazio topologico. Lo spazio topologico che modellizza è un complesso simpliciale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Uno schema simpliciale è una coppia (I,K) dove I è un insieme i cui elementi sono detti vertici, e K è una famiglia di sottoinsiemi di I che soddisfa le proprietà seguenti:

  1. K contiene tutti gli insiemi formati da un solo elemento,
  2. Se un insieme appartiene a K allora tutti i suoi sottoinsiemi appartengono a K.

Le due condizioni possono essere espresse anche nel modo seguente.

  1. \{i\}\in K\ \forall i\in I,
  2. s\in K, t\subset s \Rightarrow t\in K.

Gli elementi di K sono detti simplessi. La dimensione di un simplesso è la sua cardinalità meno uno.

Complesso simpliciale associato[modifica | modifica wikitesto]

A partire da uno schema simplicale è possibile costruire un complesso simpliciale, che è a sua volta uno spazio topologico. Il complesso simpliciale è costruito rappresentando ogni simplesso di dimensione k come un simplesso geometrico della stessa dimensione, definito come l'insieme

\Delta_k = \{(x_0,\ldots,x_k)\in\R^{n+1}\ |\ x_0+\ldots+x_k=1, x_i\geqslant 0\, \forall i\}.

E identificando i vari simplessi secondo le prescrizioni date dalle relazioni insiemistiche degli elementi di K.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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