Spazio separabile

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In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio topologico è separabile se contiene un sottoinsieme numerabile e denso[1].

Gli spazi usati generalmente in analisi matematica e in geometria sono separabili: ad esempio la retta reale è separabile, perché contiene i numeri razionali, che sono un sottoinsieme denso e numerabile.

Allo stesso modo in cui i numeri reali possono essere approssimati, con la precisione desiderata, con numeri razionali, così uno spazio separabile possiede sottoinsiemi numerabili, tramite i quali ci si può avvicinare quanto si vuole ad ogni suo elemento, nel senso di limite matematico.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • L'immagine di uno spazio separabile tramite una funzione continua è separabile. Quindi lo spazio quoziente di uno spazio separabile è separabile.
  • Il prodotto di una quantità numerabile di spazi separabili è separabile.
  • Il sottospazio di uno spazio separabile può non essere separabile. Infatti ogni spazio non separabile è contenuto in uno separabile: è sufficiente aggiungere allo spazio non separabile un punto, ed imporre che la chiusura di questo sia tutto lo spazio.
  • D'altra parte, ogni sottospazio aperto di uno spazio separabile è separabile. E ogni sottospazio di uno spazio metrico separabile è separabile[2].
  • La cardinalità di uno spazio di Hausdorff separabile è al più 2c, dove c è la cardinalità dei numeri reali.
  • L'insieme di tutte le funzioni continue a valori in R su uno spazio separabile ha cardinalità al più c.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ H. Brezis, op. cit., Pag. 72
  2. ^ Any subspace of a separable metric space is separable | alanmath

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica