Insieme denso

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In matematica, un sottoinsieme di uno spazio topologico è denso nello spazio topologico se ogni elemento dello spazio appartiene all'insieme o ne è un punto di accumulazione.[1]

Nel caso di un insieme di numeri reali, ad esempio, per ogni coppia di numeri distinti vi è sempre un elemento dell'insieme compreso tra i due. I numeri razionali e i numeri irrazionali sono due insiemi densi, mentre i numeri interi non lo sono.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia X uno spazio topologico. Un sottoinsieme A di X è denso in X se l'unico sottoinsieme chiuso di X contenente A è X stesso, ovvero la chiusura di A è X.

Le seguenti definizioni sono inoltre equivalenti a quella data. A è denso in X se e solo se:

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Ogni spazio topologico è denso in se stesso
  • I numeri reali con l'usuale topologia hanno i numeri razionali e in numeri irrazionali come sottoinsiemi densi
  • Nel piano, una superficie senza bordo è densa nell'insieme formato dalla stessa superficie con bordo
  • I polinomi sono densi nell'insieme C[a,b] delle funzioni continue sull'intervallo [a,b], dotato della distanza
d_\infty (f,g) = \max _{x \in [a,b]} |f(x) - g(x)|

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 6

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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