Insieme denso

In matematica, un sottoinsieme di uno spazio topologico è denso nello spazio topologico se ogni elemento dello spazio appartiene all'insieme o ne è un punto di accumulazione.

Nel caso di un insieme di numeri reali, ad esempio, per ogni coppia di numeri distinti vi è sempre un elemento dell'insieme compreso tra i due. I numeri razionali e i numeri irrazionali sono due insiemi densi, mentre i numeri interi non lo sono.

Definizione

Sia $X$ uno spazio topologico. Un sottoinsieme $A$ di $X$ è denso in $X$ se l'unico sottoinsieme chiuso di $X$ contenente $A$ è $X$ stesso, ovvero la chiusura di A è X.

Le seguenti definizioni sono inoltre equivalenti a quella data. A è denso in $X$ se e solo se:

• Ogni sottoinsieme aperto non vuoto di X interseca A.
• Il complementare di A ha parte interna vuota.
• Ogni punto di X è il limite di una successione contenuta in A.

Esempi

• Ogni spazio topologico è denso in se stesso
• I numeri reali con l'usuale topologia hanno i numeri razionali e in numeri irrazionali come sottoinsiemi densi
• Nel piano, una superficie senza bordo è densa nell'insieme formato dalla stessa superficie con bordo
• I polinomi sono densi nell'insieme $C[a,b]$ delle funzioni continue sull'intervallo $[a,b]$, dotato della distanza

$d_\infty (f,g) = \max _{x \in [a,b]} |f(x) - g(x)|$

• Uno spazio metrico $M$ è denso nel suo completamento $\gamma M$

Bibliografia

• Michael Reed; Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2^a ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980. ISBN 0125850506

Voci correlate

• spazio separabile, uno spazio con un sottoinsieme denso numerabile
• ordine denso, la nozione di "densità" in teoria degli ordini
• insieme mai denso, un insieme che non è denso in alcun aperto

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