Fibrato tangente

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Il fibrato tangente di una circonferenza. Ad ogni punto è associata la retta tangente. Le rette tangenti sono tutte disgiunte e si muovono "con continuità": il fibrato può quindi essere visualizzato come nella seconda figura.

In topologia differenziale il fibrato tangente TM ad una varietà differenziabile M è l'insieme formato dall'unione disgiunta di tutti gli spazi tangenti ai punti di M. Questo insieme è dotato di una struttura di varietà differenziabile (di dimensione doppia a quella di M), ed è generalmente visualizzato come fibrato vettoriale

\pi:TM \to M

su M, in cui la controimmagine di un punto x è proprio lo spazio tangente T_xM al punto.[1]

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Insieme[modifica | modifica sorgente]

Sia M una varietà differenziabile. Il fibrato tangente di M è l'unione disgiunta di tutti gli spazi tangenti ai punti di M:

TM = \coprod_{x\in M}T_xM=\bigcup_{x\in M} \left\{x\right\}\times T_xM.

Un punto di TM è quindi una coppia (x,v), dove x è un punto di M e v un vettore tangente a M in x, cioè un elemento dello spazio tangente T_xM di M in x.

La proiezione

\pi:TM \to M

manda il punto (x,v)\in TM in x\in M.

Varietà differenziabile[modifica | modifica sorgente]

Lo spazio TM è dotato di una struttura di varietà differenziabile, che porta \pi ad essere un fibrato vettoriale differenziabile. La struttura può essere definita nel modo seguente. La struttura differenziabile di M è data da un insieme di carte

\phi_\alpha\colon U_\alpha \to \mathbb R^n.

Ad ogni carta di M si associa la carta seguente per TM:

\psi_\alpha\colon \pi^{-1}(U_\alpha) \to \mathbb R^n \times \R^n,
\psi_\alpha\colon (x, v) \mapsto \big(\phi_\alpha(x), (d\phi_\alpha)_x(v)\big).

In questa scrittura, lo spazio tangente di un punto in \R^n è identificato con \R^n stesso. Questo insieme di carte dà effettivamente luogo ad un atlante di carte compatibili, e quindi ad una struttura di varietà differenziabile.

Se M ha dimensione n, il fibrato tangente ha dimensione 2n.[2]

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Funzioni differenziabili[modifica | modifica sorgente]

Ogni funzione differenziabile

f:M\to N

tra varietà differenziabili (non necessariamente della stessa dimensione) induce una funzione differenziabile

\tilde f:TM \to TN

fra i corrispettivi fibrati. La funzione è definita nel modo seguente:

\tilde f(x,v) = \big(f(x), (df)_x(v)\big).

Campi vettoriali[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Campo vettoriale.
A differenza della sfera, il toro ha caratteristica di Eulero nulla: esistono quindi dei campi vettoriali (tangenti) mai nulli sul toro; ad esempio, quello disegnato qui.

Un campo vettoriale su una varietà differenziabile è una funzione che associa ad ogni punto di x un vettore tangente a x. In altre parole, è una sezione del fibrato tangente, ovvero una funzione

s:M \to TM

tale che \pi\circ s sia la funzione identità su M. Generalmente, si richiede implicitamente che il campo vettoriale sia liscio, ovvero che la sezione sia una funzione differenziabile.

L'esistenza di campi vettoriali mai nulli è determinata dalla caratteristica di Eulero \chi(M) di M: un campo mai nullo esiste se e solo se \chi(M)=0.

Orientabilità[modifica | modifica sorgente]

Il fibrato tangente TM è sempre una varietà orientabile, anche quando M non lo è.

Fibrati banali e non banali[modifica | modifica sorgente]

Localmente, come per ogni fibrato vettoriale, il fibrato tangente è esprimibile come prodotto

U\times \R^n

dove U è un aperto (sufficientemente piccolo) di M. Globalmente, il fibrato tangente può non essere un prodotto. Non esiste infatti a priori nessun modo di identificare i vettori di due spazi tangenti T_xM e T_yM corrispondenti a spazi differenti.

Una varietà differenziabile il cui fibrato tangente è banale è detta parallelizzabile. Una n-varietà è parallelizzabile se e solo se esistono n campi vettoriali mai nulli, che in ogni punto x formano n vettori indipendenti di T_x (ovvero, una base). L'esistenza di queste basi è proprio ciò che serve per poter identificare i punti di due spazi tangenti differenti, fissando delle coordinate valide in tutti gli spazi tangenti.

Ad esempio, il fibrato tangente della circonferenza S^1 è esprimibile come prodotto S^1\times \R, come illustrato in figura. Il fibrato tangente della sfera bidimensionale S^2 non è però esprimibile come prodotto: per il teorema della palla pelosa non esistono infatti campi vettoriali mai nulli su S^2.

In generale, affinché una varietà sia parallelizzabile, è necessario che abbia caratteristica di Eulero nulla. Non è però vero il viceversa: esistono varietà con caratteristica di Eulero nulla che non sono parallelizzabili.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di geometria differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, p. 29.
  2. ^ Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, pp. 241-242.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]


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