Fibrato tangente

Il fibrato tangente di una circonferenza. Ad ogni punto è associata la retta tangente. Le rette tangenti sono tutte disgiunte e si muovono "con continuità": il fibrato può quindi essere visualizzato come nella seconda figura.

In topologia differenziale il fibrato tangente $TM$ ad una varietà differenziabile $M$ è l'insieme formato dall'unione disgiunta di tutti gli spazi tangenti ai punti di $M$. Questo insieme è dotato di una struttura di varietà differenziabile (di dimensione doppia a quella di $M$), ed è generalmente visualizzato come fibrato vettoriale

$\pi:TM \to M$

su $M$, in cui la controimmagine di un punto $x$ è proprio lo spazio tangente $T_xM$ al punto.

Definizione

Insieme

Sia $M$ una varietà differenziabile. Il fibrato tangente di $M$ è l'unione disgiunta di tutti gli spazi tangenti ai punti di $M$:

$TM = \coprod_{x\in M}T_xM=\bigcup_{x\in M} \left\{x\right\}\times T_xM.$

Un punto di $TM$ è quindi una coppia $(x,v)$, dove $x$ è un punto di $M$ e $v$ un vettore tangente a $M$ in $x$, cioè un elemento dello spazio tangente $T_xM$ di $M$ in $x$.

La proiezione

$\pi:TM \to M$

manda il punto $(x,v)\in TM$ in $x\in M$.

Varietà differenziabile

Lo spazio $TM$ è dotato di una struttura di varietà differenziabile, che porta $\pi$ ad essere un fibrato vettoriale differenziabile. La struttura può essere definita nel modo seguente. La struttura differenziabile di $M$ è data da un insieme di carte

$\phi_\alpha\colon U_\alpha \to \mathbb R^n.$

Ad ogni carta di $M$ si associa la carta seguente per $TM$:

$\psi_\alpha\colon \pi^{-1}(U_\alpha) \to \mathbb R^n \times \R^n,$

$\psi_\alpha\colon (x, v) \mapsto \big(\phi_\alpha(x), (d\phi_\alpha)_x(v)\big).$

In questa scrittura, lo spazio tangente di un punto in $\R^n$ è identificato con $\R^n$ stesso. Questo insieme di carte dà effettivamente luogo ad un atlante di carte compatibili, e quindi ad una struttura di varietà differenziabile.

Se $M$ ha dimensione $n$, il fibrato tangente ha dimensione $2n$.

Proprietà

Funzioni differenziabili

Ogni funzione differenziabile

$f:M\to N$

tra varietà differenziabili (non necessariamente della stessa dimensione) induce una funzione differenziabile

$\tilde f:TM \to TN$

fra i corrispettivi fibrati. La funzione è definita nel modo seguente:

$\tilde f(x,v) = \big(f(x), (df)_x(v)\big).$

Campi vettoriali

Per approfondire, vedi Campo vettoriale.

A differenza della sfera, il toro ha caratteristica di Eulero nulla: esistono quindi dei campi vettoriali (tangenti) mai nulli sul toro; ad esempio, quello disegnato qui.

Un campo vettoriale su una varietà differenziabile è una funzione che associa ad ogni punto di $x$ un vettore tangente a $x$. In altre parole, è una sezione del fibrato tangente, ovvero una funzione

$s:M \to TM$

tale che $\pi\circ s$ sia la funzione identità su $M$. Generalmente, si richiede implicitamente che il campo vettoriale sia liscio, ovvero che la sezione sia una funzione differenziabile.

L'esistenza di campi vettoriali mai nulli è determinata dalla caratteristica di Eulero $\chi(M)$ di $M$: un campo mai nullo esiste se e solo se $\chi(M)=0$.

Orientabilità

Il fibrato tangente $TM$ è sempre una varietà orientabile, anche quando $M$ non lo è.

Fibrati banali e non banali

Localmente, come per ogni fibrato vettoriale, il fibrato tangente è esprimibile come prodotto

$U\times \R^n$

dove $U$ è un aperto (sufficientemente piccolo) di $M$. Globalmente, il fibrato tangente può non essere un prodotto. Non esiste infatti a priori nessun modo di identificare i vettori di due spazi tangenti $T_xM$ e $T_yM$ corrispondenti a spazi differenti.

Una varietà differenziabile il cui fibrato tangente è banale è detta parallelizzabile. Una $n$-varietà è parallelizzabile se e solo se esistono $n$ campi vettoriali mai nulli, che in ogni punto $x$ formano $n$ vettori indipendenti di $T_x$ (ovvero, una base). L'esistenza di queste basi è proprio ciò che serve per poter identificare i punti di due spazi tangenti differenti, fissando delle coordinate valide in tutti gli spazi tangenti.

Ad esempio, il fibrato tangente della circonferenza $S^1$ è esprimibile come prodotto $S^1\times \R$, come illustrato in figura. Il fibrato tangente della sfera bidimensionale $S^2$ non è però esprimibile come prodotto: per il teorema della palla pelosa non esistono infatti campi vettoriali mai nulli su $S^2$.

In generale, affinché una varietà sia parallelizzabile, è necessario che abbia caratteristica di Eulero nulla. Non è però vero il viceversa: esistono varietà con caratteristica di Eulero nulla che non sono parallelizzabili.

Voci correlate

• Fibrato vettoriale
• Spazio tangente
• Campo vettoriale

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