Curva (matematica)

Una curva piana a forma di farfalla.

In matematica, una curva è un oggetto unidimensionale e continuo, come ad esempio la circonferenza e la retta. Una curva può giacere su un piano, nello spazio euclideo, o in uno spazio topologico più generale.

Una curva può essere pensata intuitivamente come la traiettoria descritta da un oggetto (puntiforme) che si muove con continuità in qualche spazio; non dovrebbe sorprendere quindi il fatto che per "catturare" nel linguaggio matematico quest'idea si faccia ricorso alle nozioni di funzione continua e funzione differenziabile.

Definizioni

Il sostegno di una curva è la sua immagine.

La spirale di Fermat è una curva semplice non chiusa.

Una rodonea con tre petali. Si tratta di una curva chiusa non semplice (si interseca più volte nel centro).

Una curva semplice chiusa nello spazio tridimensionale è un nodo.

In topologia, una curva è una funzione continua

$f:I \rightarrow X$

dove $I$ è un intervallo della retta reale e $X$ è un qualsiasi spazio topologico.

Ad esempio, $X$ può essere il piano cartesiano $\R^2$ o lo spazio $\R^3$. L'intervallo $I$ può essere ad esempio un intervallo chiuso $[a,b]$, un intervallo aperto $(a,b)$, una semiretta $[a,+\infty)$, ecc.

Sostegno della curva

L'immagine di una curva viene anche chiamato sostegno della curva. Spesso con un piccolo abuso di linguaggio si indica con la parola "curva" il sostegno e non la funzione. Ad esempio, la circonferenza è il sostegno della curva

$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2$

$f(t) = e^{2\pi it} = (\cos(2\pi t), \sin(2\pi t))$

In topologia, quando l'intervallo di partenza $I$ è quello unitario $[0,1]$ si usa spesso uno dei termini equivalenti cammino o arco.

Curva semplice e curva chiusa

Una curva $f$ iniettiva nei punti interni del suo dominio è detta curva semplice.

Una curva $f:[a,b] \rightarrow X$ che coincide sui suoi estremi, cioè tale che $f(a) = f(b)$, è una curva chiusa o un laccio. Quindi il cerchio è una curva piana chiusa e semplice.

Curva piana

Una curva piana è una curva

$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2$

a valori nel piano cartesiano $\R^2$. Una curva piana chiusa e semplice è anche detta curva di Jordan.

Parametrizzazioni

Se $p:I \rightarrow I$ è un omeomorfismo crescente dell'intervallo (ad esempio, una funzione derivabile e biettiva con derivata positiva), allora $g=f\circ p$ ottenuta componendo $p$ e $f$ è un'altra curva avente lo stesso sostegno di $f$. Si dice che $g$ è un'altra parametrizzazione della curva $f$.

Differenziabilità

Per approfondire, vedi Geometria differenziale delle curve.

La curva di Koch non è differenziabile.

Una curva liscia (una ellisse, in rosso) ed una curva regolare a tratti (la sua evoluta, in blu).

Una curva topologica, per quanto sembri rispondere all'esigenza di rappresentare oggetti "filiformi" e "senza spessore", che localmente sembrano una retta incurvata, può essere molto bizzarra se non si fissano delle condizioni aggiuntive. Ad esempio, nel 1890 il matematico Giuseppe Peano scoprì una curva (nota ora come curva di Peano) avente come sostegno un quadrato. La curva di Koch è invece un frattale con dimensione di Hausdorff maggiore di uno (un oggetto dimensionalmente intermedio tra la retta e il piano).

Una condizione aggiuntiva che garantisce l'aspetto "filiforme" del sostegno è la differenziabilità: se $X$ è il piano o un altro spazio euclideo, è possibile chiedere che $f$ sia differenziabile in ogni punto, ed in questo caso parlare di curva differenziabile o regolare. In una curva differenziabile, per ogni $t \in I$ è definita una tangente alla curva in $f(t)$: la tangente è il vettore delle derivate di $f$.

La lunghezza di una tangente è la velocità della curva nel punto. La velocità può cambiare tramite riparametrizzazione della curva: data una curva, c'è sempre un'unica parametrizzazione tale che la velocità sia costantemente uno. Una tale curva è parametrizzata dalla lunghezza d'arco.

Regolarità a tratti

In molti contesti è utile parlare di curve "lisce" che formano però degli "angoli" in alcuni punti. Per questo scopo si definisce una curva regolare a tratti come una curva il cui dominio $I$ è unione di intervalli successivi, su ciascuno dei quali la curva è regolare. Formalmente, si chiede che esista una partizione di un intervallo $I$ in alcuni intervalli $I_1,\ldots,I_k$ tali che la restrizione della curva su ciascun $I_j$ sia regolare.

Rappresentazione cartesiana e parametrica

Per approfondire, vedi Curva nello spazio.

Due modi utilizzati per rappresentare una curva in tre dimensioni sono la forma cartesiana e la forma parametrica.

Rappresentazione cartesiana

È possibile rappresentare una curva in forma implicita identificando il suo supporto con il luogo di zeri di un campo vettoriale $\Phi: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^2$, ovvero i punti di coordinate $(x,y,z)$ che verificano il sistema:

$C: \begin{cases} f(x,y,z) = 0 \\ g(x,y,z) = 0 \end{cases}$

dove $f$ e $g$ sono funzioni di classe almeno $C^1$ a valori reali. Una tale rappresentazione può essere pensata come curva intersezione di due superfici in forma implicita.

Condizione sufficiente per la regolarità locale di una curva così rappresentata nell'intorno di un suo punto $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ è che la jacobiana:

$J=\frac{\partial \Phi (x_0,y_0,z_0)}{\partial(x,y,z)}$

abbia rango massimo

Rappresentazione parametrica

Una curva in forma parametrica è una funzione vettoriale di una sola variabile $\alpha(t): I=[a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$ del tipo:

$\alpha(t) = (\alpha_1(t), \alpha_2(t), \alpha_3(t))\$

Si può scrivere anche:

$\alpha(t) : \begin{cases} x = \alpha_1(t) \\ y = \alpha_2(t) \\ z = \alpha_3(t) \end{cases}$

La variabile $t \in I$ si chiama parametro. Una curva è una funzione di classe $C^1\$ in un intervallo se le funzioni $\alpha_1 (t)\$, $\alpha_2 (t)\$ e $\alpha_3(t)\$ hanno derivate continue in tale intervallo. Una curva $C^1\$ si dice regolare in un punto $t_0\$ se:

$\phi'(t_0) = (\alpha_{1}^{'}(t_0), \alpha_{2}^{'}(t_0), \alpha_{3}^{'}(t_0)) \ne (0,0,0)$

e regolare in $I$ se ciò vale in ogni punto di $I\$. Un punto in cui si abbia $\alpha'(t_0) = (0,0,0)\$ si dice punto singolare per la curva.

Lunghezza della curva

Per approfondire, vedi lunghezza di un arco.

Se $(X,d)$ è uno spazio metrico (ad esempio, il piano o uno spazio euclideo) si può usare la metrica stessa per definire la lunghezza di una curva. Sia data una curva $\varphi:[a,b]\to X$ e una partizione dell'intervallo $[a,b]$ cioè un insieme finito di punti $\rho=\{t_k\}_k^n$ tale che:

$a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b$

Allora si può definire la poligonale, cioè una curva che è l'unione dei segmenti aventi vertici l'immagine degli elementi della partizione tramite $\varphi$. In pratica la poligonale è una curva spezzata i cui vertici appartengono alla curva originale. Più i vertici della poligonale sono numerosi e più la sua lunghezza approssimerà quella della curva.

Possiamo definire la lunghezza della curva $f$ come estremo superiore della lunghezza della poligonale al variare della partizione $\rho$:

$L(\varphi)$	$= \sup_\rho\left[d(\varphi(t_0), \varphi(t_1)) + ... + d(\varphi(t_{n-1}), \varphi(t_n))\right]=\sup_\rho\sum_{i=1}^n d(\varphi(t_i),\varphi(t_{i-1}))$
	$=\sup \left\{ \sum_{i=1}^n d(\varphi(t_i),\varphi(t_{i-1})) : n \in \mathbb{N} \mbox{ e } a = t_0 < t_1 < \dots < t_n = b \right\}$

Se tale valore non è infinito, la curva si dice rettificabile. Le curve di Peano e di Koch non sono rettificabili.

La lunghezza di una curva non dipende dalla sua parametrizzazione, cioè non varia se si considerano parametrizzazioni equivalenti.

Una curva derivabile è rettificabile: per ogni punto t dell'intervallo è definita una velocità, e si può dimostrare che la lunghezza definita come sopra è uguale all'integrale di questa velocità su I:

$L(\varphi) = \int_I ||\dot \varphi(t)||\,dt$

usando la nozione di integrale di linea si può scrivere anche:

$L(\varphi) = \int_\varphi dt$

Bibliografia

• Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 0-486-66721-9
• Euclid, commentary and trans. by T. L. Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
• E. H. Lockwood A Book of Curves (1961, Cambridge)

Voci correlate

• Arco (topologia)
• Curva nello spazio
• Curva piana
• Differenziabilità
• Derivata
• Geometria analitica
• Geometria differenziale delle curve
• Glossario sulle curve matematiche
• Lunghezza di un arco
• Superficie (matematica)
• Tangente
• Teorema delle funzioni implicite

Altri progetti

• Commons

• Commons contiene immagini o altri file sulle curve

Collegamenti esterni

• (EN) A Visual Dictionary of Special Plane Curves curato da Xah Lee
• (EN) Famous Curves Index in MacTutor
• (EN) Articolo in MathWorld
• (EN) Mathematical curves curato da jan wassenaar
• Indice delle curve tridimensionali nel sito Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables, cioè mathcurve.com
• (EN) Famous Curves Index, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
• (EN) Mathematical curves A collection of 874 two-dimensional mathematical curves
• (EN) Gallery of Space Curves Made from Circles, includes animations by Peter Moses
• (EN) Gallery of Bishop Curves and Other Spherical Curves, includes animations by Peter Moses
• (EN) YAN Kun. Research on adaptive connection equation in discontinuous area of data curve.

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