Partizione di un intervallo

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In matematica la partizione di un intervallo reale è un insieme di punti dell'intervallo che lo dividono in sottointervalli. Il concetto di partizione è usato per definire numerosi concetti come l'integrale di Riemann e la lunghezza di un arco.

Se l'intervallo è I=[a,b] la partizione di I è un insieme \rho=\{t_i\}_{i=0}^{n}

\rho = \{t_i\in [a,b]:a=t_0<t_1<\ldots <t_n=b\}

La partizione dell'intervallo I definisce dei sottointervalli di I:

I_0 = [t_0,t_1], I_1=[t_1,t_2], \ldots, I_{n-1}=[t_{n-1},t_n]

L'insieme di questi intervalli è una particolare partizione dell'insieme [a,b]. Appare chiaro che le ampiezze dei singoli intervalli (\Delta t_i=t_{i+1}-t_{i}) non devono necessariamente essere uguali.

Ampiezza di una partizione[modifica | modifica wikitesto]

L'ampiezza (o mesh) della partizione \rho è definita come:

|\rho|=\max_{1\leq i \leq n}\Delta t_i=\max_{1\leq i \leq n} (t_{i+1}-t_{i})

L'ampiezza di una partizione è usata nelle somme di Riemann.

Relazioni tra partizioni[modifica | modifica wikitesto]

Due partizioni si possono anche confrontare: una partizione \pi' è più fine di un’altra \pi se i punti di \pi sono tutti presenti fra quelli di \pi', cioè se:

\pi\subseteq \pi'.

Si dice che \pi' è un raffinamento di \pi. Inoltre è evidente che se si uniscono i punti di due partizioni la nuova partizione così ottenuta è più fine, o al minimo fine allo stesso modo, delle precedenti. Tale relazione si indica con \left.\ {\pi'}  \right \}\pi . Ovviamente vale:

|\rho(\pi')| \leq |\rho(\pi)|

che giustifica il nome "raffinamento".

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Dato l'intervallo [0,10] una partizione può essere \{0,2,6,10\}, un raffinamento \{0,1,2,5,6,7,10\}. L'ampiezza della prima partizione è 4, del raffinamento 3.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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