Partizione di un intervallo

In matematica la partizione di un intervallo reale è un insieme di punti dell'intervallo che lo dividono in sottointervalli. Il concetto di partizione è usato per definire numerosi concetti come l'integrale di Riemann e la lunghezza di un arco.

Se l'intervallo è $I=[a,b]$ la partizione di $I$ è un insieme $\rho=\{t_i\}_{i=0}^{n}$

$\rho = \{t_i\in [a,b]:a=t_0<t_1<\ldots <t_n=b\}$

La partizione dell'intervallo $I$ definisce dei sottointervalli di $I$:

$I_0 = [t_0,t_1], I_1=[t_1,t_2], \ldots, I_{n-1}=[t_{n-1},t_n]$

L'insieme di questi intervalli è una particolare partizione dell'insieme $[a,b]$. Appare chiaro che le ampiezze dei singoli intervalli ($\Delta t_i=t_{i+1}-t_{i}$) non devono necessariamente essere uguali.

Ampiezza di una partizione

L'ampiezza (o mesh) della partizione $\rho$ è definita come:

$|\rho|=\max_{1\leq i \leq n}\Delta t_i=\max_{1\leq i \leq n} (t_{i+1}-t_{i})$

L'ampiezza di una partizione è usata nelle somme di Riemann.

Relazioni tra partizioni

Due partizioni si possono anche confrontare: una partizione $\pi'$ è più fine di un’altra $\pi$ se i punti di $\pi$ sono tutti presenti fra quelli di $\pi'$, cioè se:

$\pi\subseteq \pi'.$

Si dice che $\pi'$ è un raffinamento di $\pi$. Inoltre è evidente che se si uniscono i punti di due partizioni la nuova partizione così ottenuta è più fine, o al minimo fine allo stesso modo, delle precedenti. Tale relazione si indica con $\left.\ {\pi'} \right \}\pi$. Ovviamente vale:

$|\rho(\pi')| \leq |\rho(\pi)|$

che giustifica il nome "raffinamento".

Esempio

Dato l'intervallo $[0,10]$ una partizione può essere $\{0,2,6,10\}$, un raffinamento $\{0,1,2,5,6,7,10\}$. L'ampiezza della prima partizione è 4, del raffinamento 3.

Voci correlate

• Integrale di Riemann
• Integrale di Riemann-Stieltjes

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