Geometria differenziale delle curve

In matematica, la geometria differenziale delle curve usa il calcolo infinitesimale per studiare le curve nel piano, nello spazio, e più generalmente in uno spazio euclideo.

Definizioni

Definizioni di base

Per approfondire, vedi curva (matematica).

Una curva è una funzione continua $f:I\to \mathbb R^n$, dove $I$ è un intervallo dei numeri reali, come ad esempio $[0, 1]$. La variabile in questo intervallo in genere si denota con la lettera $t$ e per la funzione si usa spesso la notazione $f(t)$. In questa voce, supporremmo che $f$ sia una funzione differenziabile sufficientemente regolare, ovvero una funzione che abbia derivate continue di un ordine sufficientemente alto; si chiede inoltre che la sua derivata prima $f'(t)$ sia un vettore mai nullo su tutto l'intervallo $I$.

Per supporto di $f$ si intende la immagine di tale funzione. Se $f$ è iniettiva, la curva si dice semplice.

Lunghezza e parametrizzazione

Per approfondire, vedi Curva nello spazio.

Una riparametrizzazione di $f$ è un'altra curva $g$ tale che:

$g = f \circ p$

dove $p:J \rightarrow I$ è una biiezione differenziabile con derivata sempre positiva (e quindi crescente) e $J$ è un intervallo dei reali che potrebbe coincidere con $I$. In questo caso le curve $f$ e $g$, benché descritte con parametrizzazioni diverse, sono intese come equivalenti.

La lunghezza di una curva $f$ definita su un intervallo chiuso $I = [a,b]$ è fornita da:

$L = \int_a^b \vert f'(t) \vert dt$

La lunghezza di una curva non cambia se essa viene riparametrizzata. Consideriamo che l'intervallo di definizione della curva sia della forma $[0,T]$ e pensiamo che la variabile $t$ esprima il tempo per un corpo puntiforme $P$ che percorra la curva nell'intervallo temporale da 0 a $T$; abbiamo quindi un modello cinematico della curva. Si puo` quindi dire che la lunghezza della curva percorsa dal corpuscolo dall'istante 0 all'istante $t$ è:

$s(t) = \int_a^t \vert f'(u) \vert du$

La funzione sempre crescente $s(t)$ stabilisce una biiezione tra gli intervalli $[0,T]$ e $[0,L]$ e porta ad una riparametrizzazione della curva. Scrivendo:

$f(t) ~=~ f_0 (s(t))$

si ottiene la cosiddetta parametrizzazione secondo la lunghezza d'arco $f_0$ della curva. Questa parametrizzazione, in termini cinematici, si legge come il moto di un corpo puntiforme che percorre la curva con velocità costante pari a 1:

$\vert f_0'(s(t)) \vert = 1 \qquad (\forall t \in I)$

Questa parametrizzazione della curva è l'unica che presenta la velocità costantemente uguale ad 1. Benché sia spesso difficile da calcolare, essa è utile per dimostrare agevolmente alcuni teoremi.

Sistema di Frenet

Un sistema di Frenet è un sistema di riferimento mobile di $n$ vettori ortonormali $e_1(t), \ldots, e_n(t)\,\!$ dipendenti da $t$, utili per descrivere il comportamento locale della curva in $f(t)$.

Per definire il sistema di Frenet è necessario supporre che la curva sia regolare, cioè che le derivate $f'(t), f''(t), \ldots, f^{(n)}(t)\,\!$ siano linearmente indipendenti, e quindi formino una base. In questo caso, il sistema di Frenet è definito a partire da questa base tramite il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.

Le curvature generalizzate sono definite come:

$\chi_i(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \rangle}{| f'(t) |}.$

Il sistema di Frenet e le curvature generalizzate non dipendono dalla parametrizzazione scelta.

In due dimensioni

Il cerchio osculatore

Nel piano, il primo vettore di Frenet $e_1(t)$ è la tangente alla curva al valore $t$ del parametro, mentre il vettore $e_2(t)$, detto vettore normale è il vettore normale a $e_1(t)$, nella direzione in cui curva. La curvatura:

$\kappa(t) = \chi_1(t)$

indica lo spostamento della curva dalla linea retta tangente. Il reciproco:

$\frac{1}{\kappa(t)}$

è chiamato raggio di curvatura. Ad esempio, una circonferenza di raggio $r$ ha curvatura costante $1/r$, mentre una linea retta ha curvatura nulla.

Il cerchio osculatore è il cerchio tangente a $e_1(t)$ e di raggio $1/\kappa$. Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al valore $t$ del parametro "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda di $f$ nel punto.

In tre dimensioni

Un sistema di Frenet in tre dimensioni e il relativo piano osculatore evidenziato

Nello spazio tridimensionale i vettori di Frenet e le curvature hanno dei nomi specifici.

Vettore tangente

Il primo vettore di Frenet $e_1$ è il vettore tangente, definito quindi come:

$\mathbf{e}_{1}(t) = \frac{ f'(t) }{ | f'(t) |}$

Se $f$ è parametrizzato secondo la lunghezza d'arco, questo si riduce semplicemente a

$\mathbf{e}_{1}(t) = f'(t).$

Versore normale

Il versore normale misura quanto la curva differisce da una linea retta, ed è il secondo vettore di Frenet, definito quindi come:

$\mathbf{e}_2(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_2}(t)} {| \overline{\mathbf{e}_2}(t) |} \mbox{, } \quad \overline{\mathbf{e}_2}(t) = f''(t) - \langle f''(t), \mathbf{e}_1(t) \rangle \, \mathbf{e}_1(t)$

I vettori tangente e normale generano un piano, chiamato piano osculatore della curva al punto $t$.

Curvatura

La prima curvatura generalizzata χ₁(t) è chiamata semplicemente curvatura di $f$ in $t$, ed è data da

$\kappa(t) = \chi_1(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_1'(t), \mathbf{e}_2(t) \rangle}{| f^'(t) |}$

Il reciproco della curvatura

$\frac{1}{\kappa(t)}$

è il raggio di curvatura nel punto $t$.

Vettore binormale

Il vettore binormale è il terzo vettore di Frenet $e_3(t)$: è ortogonale al piano osculatore, definito con il prodotto vettoriale semplicemente come:

$\mathbf{e}_3(t) = \mathbf{e}_1(t) \times \mathbf{e}_2(t)$

Torsione

La seconda curvatura generalizzata χ₂(t) è chiamata torsione e misura quanto la curva esce dal piano osculatore. Quindi una curva ha torsione nulla se e solo se è una curva piana.

$\tau(t) = \chi_2(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_2'(t), \mathbf{e}_3(t) \rangle}{| f'(t) |}$

Formule di Frenet-Serret

Le formule di Frenet-Serret sono delle equazioni differenziali ordinarie del I ordine, la cui soluzione è il sistema di Frenet che descrive la curva. I coefficienti dell'equazione differenziale sono dati dalle curvature generalizzate χ_i.

2 dimensioni

$\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1'(t)\\ \mathbf{e}_2'(t) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa(t) \\ -\kappa(t) & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e}_1(t)\\ \mathbf{e}_2(t) \\ \end{bmatrix}$

3 dimensioni

$\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1'(t) \\ \mathbf{e}_2'(t) \\ \mathbf{e}_3'(t) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa(t) & 0 \\ -\kappa(t) & 0 & \tau(t) \\ 0 & -\tau(t) & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e}_1(t) \\ \mathbf{e}_2(t) \\ \mathbf{e}_3(t) \\ \end{bmatrix}$

n dimensioni (formula generale)

$\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1'(t)\\ \vdots \\ \mathbf{e}_n'(t) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \chi_1(t) & & 0 \\ -\chi_1(t) & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & 0 & \chi_{n-1}(t) \\ 0 & & -\chi_{n-1}(t) & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e}_1(t) \\ \vdots \\ \mathbf{e}_n(t) \\ \end{bmatrix}$

Proprietà delle curvature

Le curvature determinano la curva. Formalmente, date $n$ funzioni:

$\chi_i:[a,b] \to \mathbb R^n, \ i= 1,\ldots,n$

sufficientemente differenziabili, con:

$\chi_i(t) > 0 \mbox{, } 1 \leq i \leq n-1$

esiste un'unica curva $f$ avente quelle curvature, a meno di traslazioni ed altre isometrie dello spazio euclideo.

Bibliografia

• (EN) Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 0-486-66721-9. Chapter II is a classical treatment of Theory of Curves in 3-dimensions.
• E. Cesàro Lezioni di geometria intrinseca (1896)

Voci correlate

• Curva
• Geodetica
• Sistema di riferimento
• Geometria differenziale
• Problemi di misura (Geometria descrittiva)

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