Geometria differenziale delle curve

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In matematica, la geometria differenziale delle curve usa il calcolo infinitesimale per studiare le curve nel piano, nello spazio, e più generalmente in uno spazio euclideo.

Definizioni[modifica | modifica sorgente]

Definizioni di base[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi curva (matematica).

Una curva è una funzione continua  f:I\to \mathbb R^n , dove I è un intervallo dei numeri reali, come ad esempio  [0, 1] . La variabile in questo intervallo in genere si denota con la lettera t e per la funzione si usa spesso la notazione f(t). In questa voce, supporremmo che  f sia una funzione differenziabile sufficientemente regolare, ovvero una funzione che abbia derivate continue di un ordine sufficientemente alto; si chiede inoltre che la sua derivata prima  f'(t) sia un vettore mai nullo su tutto l'intervallo I.

Per supporto di  f si intende la immagine di tale funzione. Se  f è iniettiva, la curva si dice semplice.

Lunghezza e parametrizzazione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Curva nello spazio.

Una riparametrizzazione di  f è un'altra curva  g tale che:

 g = f \circ p

dove p:J \rightarrow I è una biiezione differenziabile con derivata sempre positiva (e quindi crescente) e J è un intervallo dei reali che potrebbe coincidere con I. In questo caso le curve  f e  g , benché descritte con parametrizzazioni diverse, sono intese come equivalenti.

La lunghezza di una curva  f definita su un intervallo chiuso  I = [a,b] è fornita da:

L = \int_a^b \vert f'(t) \vert dt

La lunghezza di una curva non cambia se essa viene riparametrizzata. Consideriamo che l'intervallo di definizione della curva sia della forma [0,T] e pensiamo che la variabile t esprima il tempo per un corpo puntiforme P che percorra la curva nell'intervallo temporale da 0 a T; abbiamo quindi un modello cinematico della curva. Si può quindi dire che la lunghezza della curva percorsa dal corpuscolo dall'istante 0 all'istante t è:

s(t) = \int_a^t \vert f'(u) \vert du

La funzione sempre crescente s(t) stabilisce una biiezione tra gli intervalli [0,T] e [0,L] e porta ad una riparametrizzazione della curva. Scrivendo:

f(t) ~=~ f_0 (s(t))

si ottiene la cosiddetta parametrizzazione secondo la lunghezza d'arco  f_0 della curva. Questa parametrizzazione, in termini cinematici, si legge come il moto di un corpo puntiforme che percorre la curva con velocità costante pari a 1:

\vert f_0'(s(t)) \vert = 1 \qquad (\forall t \in I)

Questa parametrizzazione della curva è l'unica che presenta la velocità costantemente uguale ad 1. Benché sia spesso difficile da calcolare, essa è utile per dimostrare agevolmente alcuni teoremi.

Sistema di Frenet[modifica | modifica sorgente]

Un sistema di Frenet è un sistema di riferimento mobile di  n vettori ortonormali  e_1(t), \ldots, e_n(t)\,\! dipendenti da  t , utili per descrivere il comportamento locale della curva in  f(t) .

Per definire il sistema di Frenet è necessario supporre che la curva sia regolare, cioè che le derivate  f'(t), f''(t), \ldots, f^{(n)}(t)\,\! siano linearmente indipendenti, e quindi formino una base. In questo caso, il sistema di Frenet è definito a partire da questa base tramite il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.

Le curvature generalizzate sono definite come:

\chi_i(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}'(t) \rangle}{| f'(t) |}.

Il sistema di Frenet e le curvature generalizzate non dipendono dalla parametrizzazione scelta.

In due dimensioni[modifica | modifica sorgente]

Il cerchio osculatore

Nel piano, il primo vettore di Frenet  e_1(t) è la tangente alla curva al valore  t del parametro, mentre il vettore  e_2(t) , detto vettore normale è il vettore normale a  e_1(t) , nella direzione in cui curva. La curvatura:

\kappa(t) = \chi_1(t)

indica lo spostamento della curva dalla linea retta tangente. Il reciproco:

\frac{1}{\kappa(t)}

è chiamato raggio di curvatura. Ad esempio, una circonferenza di raggio  r ha curvatura costante  1/r , mentre una linea retta ha curvatura nulla.

Il cerchio osculatore è il cerchio tangente a  e_1(t) e di raggio  1/\kappa . Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al valore  t del parametro "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda di  f nel punto.

In tre dimensioni[modifica | modifica sorgente]

Un sistema di Frenet in tre dimensioni e il relativo piano osculatore evidenziato

Nello spazio tridimensionale i vettori di Frenet e le curvature hanno dei nomi specifici.

Vettore tangente[modifica | modifica sorgente]

Il primo vettore di Frenet  e_1 è il vettore tangente, definito quindi come:

\mathbf{e}_{1}(t) = \frac{ f'(t) }{ | f'(t) |}

Se  f è parametrizzato secondo la lunghezza d'arco, questo si riduce semplicemente a

\mathbf{e}_{1}(t) = f'(t).

Versore normale[modifica | modifica sorgente]

Il versore normale misura quanto la curva differisce da una linea retta, ed è il secondo vettore di Frenet, definito quindi come:

\mathbf{e}_2(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_2}(t)} {| \overline{\mathbf{e}_2}(t) |}
\mbox{, } \quad
\overline{\mathbf{e}_2}(t) = f''(t) - \langle f''(t), \mathbf{e}_1(t) \rangle \, \mathbf{e}_1(t)

I vettori tangente e normale generano un piano, chiamato piano osculatore della curva al punto  t .

Curvatura[modifica | modifica sorgente]

La prima curvatura generalizzata χ1(t) è chiamata semplicemente curvatura di  f in  t , ed è data da

\kappa(t) = \chi_1(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_1'(t), \mathbf{e}_2(t) \rangle}{| f^'(t) |}

Il reciproco della curvatura

\frac{1}{\kappa(t)}

è il raggio di curvatura nel punto  t .

Vettore binormale[modifica | modifica sorgente]

Il vettore binormale è il terzo vettore di Frenet  e_3(t) : è ortogonale al piano osculatore, definito con il prodotto vettoriale semplicemente come:

\mathbf{e}_3(t) = \mathbf{e}_1(t) \times \mathbf{e}_2(t)

Torsione[modifica | modifica sorgente]

La seconda curvatura generalizzata χ2(t) è chiamata torsione e misura quanto la curva esce dal piano osculatore. Quindi una curva ha torsione nulla se e solo se è una curva piana.

\tau(t) = \chi_2(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_2'(t), \mathbf{e}_3(t) \rangle}{| f'(t) |}

Formule di Frenet-Serret[modifica | modifica sorgente]

Le formule di Frenet-Serret sono delle equazioni differenziali ordinarie del I ordine, la cui soluzione è il sistema di Frenet che descrive la curva. I coefficienti dell'equazione differenziale sono dati dalle curvature generalizzate χi.

2 dimensioni[modifica | modifica sorgente]

 
\begin{bmatrix}
 \mathbf{e}_1'(t)\\
 \mathbf{e}_2'(t) \\
\end{bmatrix} 

=

\begin{bmatrix}
          0 & \kappa(t) \\
 -\kappa(t) &        0  \\
\end{bmatrix} 

\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_1(t)\\
\mathbf{e}_2(t) \\
\end{bmatrix}

3 dimensioni[modifica | modifica sorgente]

 
\begin{bmatrix}
 \mathbf{e}_1'(t) \\
 \mathbf{e}_2'(t) \\
 \mathbf{e}_3'(t) \\
\end{bmatrix} 

=

\begin{bmatrix}
          0 &  \kappa(t) &       0 \\
 -\kappa(t) &          0 & \tau(t) \\
          0 &   -\tau(t) &       0 \\
\end{bmatrix} 

\begin{bmatrix}
 \mathbf{e}_1(t) \\
 \mathbf{e}_2(t) \\
 \mathbf{e}_3(t) \\
\end{bmatrix}

n dimensioni (formula generale)[modifica | modifica sorgente]

 
\begin{bmatrix}
  \mathbf{e}_1'(t)\\
           \vdots \\
 \mathbf{e}_n'(t) \\
\end{bmatrix} 

=

\begin{bmatrix}
          0 & \chi_1(t) &                &             0 \\
 -\chi_1(t) &    \ddots &         \ddots &               \\
            &    \ddots &              0 & \chi_{n-1}(t) \\
          0 &           & -\chi_{n-1}(t) &             0 \\
\end{bmatrix} 

\begin{bmatrix}
 \mathbf{e}_1(t) \\
          \vdots \\
 \mathbf{e}_n(t) \\
\end{bmatrix}

Proprietà delle curvature[modifica | modifica sorgente]

Le curvature determinano la curva. Formalmente, date  n funzioni:

\chi_i:[a,b] \to \mathbb R^n, \ i= 1,\ldots,n

sufficientemente differenziabili, con:

\chi_i(t) > 0 \mbox{, } 1 \leq i \leq n-1

esiste un'unica curva  f avente quelle curvature, a meno di traslazioni ed altre isometrie dello spazio euclideo.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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