Curvatura

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Il termine curvatura indica una serie di concetti geometrici legati fra di loro, che intuitivamente si riferiscono alla misura di quanto un determinato oggetto si discosti dall'essere piatto. La misura della curvatura viene definita in modi diversi a seconda dell'ente geometrico cui è applicata.

La nozione di curvatura è alla base della geometria differenziale. Ha notevoli applicazioni in fisica teorica, in particolare nella relatività generale.

Curvatura intrinseca ed estrinseca[modifica | modifica sorgente]

Un percorso chiuso su una sfera
Il medesimo percorso sul piano diventa aperto

Si distinguono due tipi essenziali di curvatura:

  • curvatura estrinseca: è la curvatura posseduta dall'oggetto in relazione ad uno spazio piatto di dimensione superiore in cui è immerso e determinabile solo confrontando elementi dell'oggetto in relazione ad elementi dello spazio contenitore;
  • curvatura intrinseca: è la curvatura determinabile utilizzando solo operazioni eseguite su elementi dell'oggetto medesimo.

Un esempio di curvatura estrinseca è quella di una superficie cilindrica nello spazio tridimensionale: le linee tracciate sul cilindro sono curve se confrontate con le rette dello spazio in cui il cilindro è immerso. La geometria intrinseca del cilindro è invece piatta, in quanto su di essa valgono tutti gli assiomi del piano euclideo.

Una sfera ha invece una curvatura intrinseca, determinabile rimanendo all'interno della superficie stessa: sulla Terra, un percorso che parte dal polo nord scendendo lungo un meridiano, ruota ad angolo retto lungo un parallelo e nuovamente ad angolo retto lungo un altro meridiano, ritorna al punto di partenza. Un percorso analogo eseguito su un piano non ripassa mai lungo lo stesso punto.

Misura della curvatura[modifica | modifica sorgente]

La circonferenza offre il modello più semplice di misura della curvatura (estrinseca): circonferenze con raggio maggiore hanno una curvatura minore, e viceversa. La curvatura della circonferenza viene allora definita come il reciproco del suo raggio R.

k = \frac{1}{R}.

La retta, che si può identificare con la circonferenza di raggio infinito, ha curvatura nulla. Questa definizione può venire estesa a oggetti più complessi e in dimensione maggiore, come indicato nel seguito.

Curva piana[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Geometria differenziale delle curve.
Rappresentazione di una curva e del suo cerchio osculatore, che è tangente nel punto P: la curvatura in P è il reciproco del raggio r del cerchio osculatore

Per una generica curva piana, la curvatura (estrinseca) varia da punto a punto, e viene definita tramite la costruzione del cerchio osculatore, che è tangente alla curva e la approssima fino al secondo ordine: dato un punto P della curva, la curvatura in P è pari alla curvatura del cerchio osculatore.

Se la curva è quasi diritta il cerchio osculatore ha raggio grande e la curvatura è quasi nulla (al limite, vale zero per una retta); grandi curvature corrispondono invece a punti in cui si hanno forti cambiamenti di direzione.

Per il calcolo esplicito della curvatura è possibile utilizzare le seguenti formule:

k = \left| \frac{\dot{x} \ddot{y} - \dot{y} \ddot{x}}{({\dot{x}^2 + \dot{y}^2)}^{3/2}} \right| ,

dove i punti sopra le variabili rappresentano le derivate rispetto al parametro t.

 k = \left| \nabla \cdot \left (\frac{\nabla f}{\| \nabla f \|} \right) \right| ,

ovvero la curvatura è la divergenza della direzione del gradiente di f.

 k = \frac {y^{\prime\prime}} {(1 + (y^\prime)^2 ) ^ {3/2}} ;

se la pendenza della funzione è trascurabile rispetto all'unità, è possibile utilizzare l'approssimazione

 k \approx y^{\prime\prime}.

Curva nello spazio[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Geometria differenziale delle curve.
Il triedro di Frenet di un'elica

Il comportamento di una curva nello spazio \mathbb{R}^3 si può descrivere tramite la terna di Frenet, un sistema di riferimento formato da tre vettori unitari. Ad esso sono associate due grandezze scalari:

  • la curvatura, che è il modulo del vettore normale alla curva, ed estende il concetto di curvatura definito per una curva piana;
  • la torsione, che misura di quanto la curva tende a deviare dal piano osculatore (il piano che approssima la curva fino al secondo ordine e che è determinato dai primi due vettori della terna di Frenet); una curva piana ha pertanto torsione pari a zero.

Il vettore di curvatura della proiezione ortogonale della curva sul proprio piano tangente è detto vettore di curvatura geodetica; il suo modulo, chiamato curvatura geodetica esprime un'altra misura della curvatura, intesa come deviazione della curva rispetto all'arco di lunghezza minima fra due punti vicini. Le curve a curvatura geodetica nulla sono dette geodetiche.

Curva in n dimensioni[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Geometria differenziale delle curve.

Nel caso più generale, una curva immersa in uno spazio \mathbb{R}^n viene descritta da n vettori ortonormali (sistema generalizzato di Frenet)

 \vec e_1(t), \ldots, \vec e_n(t) ,

a cui sono associate n - 1 curvature generalizzate definite da

\chi_i(t) = \frac{\langle \vec e_i\,'(t), \vec e_{i+1}(t) \rangle}{|f'(t)|}.

Superficie nello spazio[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Curvatura principale, Curvatura gaussiana e Curvatura media.
Un iperboloide, un cilindro e una sfera: si tratta di superfici con curvatura gaussiana (rispettivamente) negativa, nulla e positiva.

Su una superficie bidimensionale, la curvatura varia a seconda della direzione in cui viene calcolata. È tuttavia possibile darne una misura a partire soltanto da alcune direzioni significative.

Dato un punto P della superficie, si considerano tutti i piani passanti per la normale alla superficie in P: l'intersezione di ogni piano con la superficie determina una curva piana di cui è possibile calcolare la curvatura, con la seguente convenzione: la curvatura è positiva se la curva devia nello stesso verso della normale, negativa nel caso opposto. I valori massimi e minimi di curvatura così ottenuti sono detti curvature principali, le rispettive direzioni sono dette direzioni principali. La determinazione delle direzioni principali può essere effettuata con l'utilizzo dell'operatore di Weingarten.

Date le due curvature principali k_1 e k_2, è possibile definire due diverse misure della curvatura: la curvatura gaussiana e la curvatura media.

La curvatura gaussiana è data dal prodotto delle due curvature principali, k_G = k_1 k_2. Se le due curvature principali hanno lo stesso segno, la curvatura gaussiana è positiva e indica che la superficie è localmente convessa (come nel caso della sfera); se invece hanno segno opposto, la curvatura è negativa e la superficie ha la forma di una sella (come nel caso di un iperboloide). I punti della superficie in cui la curvatura gaussiana è positiva vengono chiamati punti ellittici, i punti in cui è negativa vengono chiamati punti iperbolici. Se in un punto della superficie una sola delle due curvature principali è uguale a zero, la curvatura gaussiana è nulla e il punto si chiama punto parabolico (come nel caso del cilindro); se entrambe le curvature principali sono nulle, il punto si chiama punto planare (è il caso del piano).

Come dimostrò Gauss nel suo Theorema Egregium, la curvatura gaussiana non dipende in effetti dall'immersione della superficie in uno spazio più grande, e può essere definita utilizzando solo caratteristiche della superficie stessa, ad esempio nel seguente modo: la distanza tra due punti sulla superficie è la lunghezza minima tra quelle degli archi che congiungono i due punti restando sulla superficie; una circonferenza sulla superficie è il luogo dei punti a distanza fissa R da un punto P. La curvatura gaussiana si può calcolare come:

k_G = \lim_{R \rarr 0} (2 \pi R  - \mbox{C}(R)) \cdot \frac{3}{\pi R^3},

dove \mbox{C}(R) è la lunghezza della circonferenza sulla superficie. Per uno spazio piatto, \mbox{C}(R) = 2 \pi R e la curvatura gaussiana vale zero.

Direzioni principali in un cilindro

La curvatura media è la media aritmetica delle due curvature principali, k_m = \frac{k_1 + k_2}{2}. Essa dipende dello spazio in cui la superficie è immersa ed è pertanto una curvatura estrinseca. La curvatura media è strettamente legata ai problemi di superficie minima: ogni superficie minima ha curvatura media uguale a zero.

Come esempio di calcolo della curvatura, consideriamo un cilindro di raggio R: le due direzioni principali sono quella parallela e quella perpendicolare all'asse del cilindro; le rispettive curvature valgono k_1 = 0 e k_2 = \frac {1}{R}. La curvatura gaussiana vale k_1 k_2 = 0, pertanto la geometria intrinseca del cilindro è piatta; la curvatura media vale invece \frac {k_1 + k_2}{2} = \frac {1}{2R}.

Varietà differenziabile[modifica | modifica sorgente]

Trasporto parallelo di un vettore lungo un percorso chiuso su una sfera: al termine del percorso ANBA il vettore risulta deviato a causa della curvatura della sfera stessa.

Una varietà differenziabile può venire dotata di una ulteriore struttura che ne determina la metrica (varietà riemanniana o pseudo-riemanniana), e con essa la curvatura; tale struttura è definita dal tensore di curvatura di Riemann.

L'oggetto così definito è strettamente legato ad una definizione intrinseca della curvatura, denominata trasporto parallelo: esso si esegue trascinando punto per punto un vettore lungo un percorso chiuso contenuto nella varietà, in modo che la direzione del vettore (riferita alla varietà e non allo spazio che la contiene) non cambi. Dopo aver percorso un giro completo, il vettore non coincide più con il vettore originario, ma risulta deviato di una quantità che dipende sia dall'area della superficie delimitata dal percorso chiuso, sia dalla curvatura intrinseca della superficie stessa (per superfici piatte la deviazione è nulla).

Utilizzando la notazione di Einstein per i tensori, l'entità della variazione subita da un vettore per un trasporto parallelo lungo il bordo della superficie \Sigma è data da:

\Delta A^\mu = \frac{1}{2} \int_\Sigma {dS^{\beta \sigma} R^\mu_{\nu \beta \sigma} A^\nu}.

La curvatura dello spazio fisico e la gravità[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Relatività generale.
Raffigurazione dei tre possibili destini dell'Universo secondo la teoria della relatività: dall'alto, Universo finito a curvatura positiva, universo infinito a curvatura negativa, universo piatto a curvatura nulla.

Secondo la teoria della relatività generale, la gravità è espressione della curvatura dello spaziotempo, una varietà pseudo-riemanniana. A sua volta, la curvatura è determinata dalla distribuzione nello spazio di massa, energia e pressione, secondo l'equazione di campo di Einstein:

R_{\mu \nu} - {1 \over 2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu},

dove R è il tensore di Ricci, una contrazione del tensore di Riemann, \Lambda è la costante cosmologica, g è la metrica dello spaziotempo, T è il tensore energia impulso.

Si può dimostrare che sia la curvatura dell'Universo che la sua storia sono completamente determinate dalla sua densità media \Omega_0: al di sopra di un particolare densità critica, lo spaziotempo ha curvatura positiva, è finito e illimitato, ed è destinato a contrarsi nuovamente nel futuro (Big Crunch); al di sotto della densità critica, lo spaziotempo ha curvatura negativa, e l'Universo si espanderà per sempre; una densità media esattamente uguale alla densità critica corrisponde ad un Universo piatto, con una espansione infinita, che però tende a rallentare sempre più approssimandosi ad una espansione nulla.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Dimostrazione su Forum Studenti Ingegneria dell'Università di Padova

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Bernard F. Schutz. Curved manifolds, in Bernard F. Schutz, A first course in general relativity. Cambridge, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-27703-5

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