Versore

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, un versore è un vettore in uno spazio normato di modulo unitario, utilizzato per indicare una particolare direzione e verso.

Dato un qualunque vettore \mathbf{v} (diverso dal vettore nullo che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per l'inverso del suo modulo,

\hat{\mathbf v} = \frac {\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert}

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Esempi di versori comunemente utilizzati sono:

  • i versori associati agli assi cartesiani nello spazio: sono una terna di vettori di modulo unitario, ognuno parallelo ad uno degli assi coordinati. Sono indicati equivalentemente con:
  1. \hat{\imath},\      \hat{\jmath},\      \hat {k}
  2. \mathbf{e}_x,\      \mathbf{e}_y,\      \mathbf{e}_z
  3. \mathbf{e}_1,\      \mathbf{e}_2,\      \mathbf{e}_3
  4. \hat{\mathbf{x}},\  \hat{\mathbf{y}},\  \hat{\mathbf{z}}
  5. \mathbf{x}_0,\      \mathbf{y}_0,\      \mathbf{z}_0
  6. \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{bmatrix},\ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\0 \end{bmatrix},\ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\1 \end{bmatrix}


  • i versori associati agli assi cartesiani nel piano: analoghi dei precedenti. Sono indicati come i precedenti, con l'eccezione che il terzo versore è mancante.
  • i versori associati ad un sistema di coordinate polari nel piano, che indicano la direzione radiale ed angolare. Si possono indicare con:
  1. \hat{r},\           \hat{\theta}
  2. \hat{\mathbf{r}},\  \hat{\boldsymbol{\theta}}
  3. \mathbf{e}_r,\      \mathbf{e}_{\theta}
  4. \mathbf{r}_0,\      \boldsymbol{\theta}_0
  • Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore tangente e il versore normale. Si indicano con:
  1. \hat{t},\           \hat{n}
  2. \hat{\mathbf{t}},\  \hat{\mathbf{n}}
  3. \mathbf{e}_t,\      \mathbf{e}_n


Derivata di un versore[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi derivata.

Sia \hat{\mathbf{v}}(t) un versore dipendente dal tempo. Se consideriamo il prodotto scalare di questo vettore per se stesso abbiamo:

\hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}} = \left|\hat{\mathbf{v}}\right|^2

ricordando che i versori hanno modulo unitario:

\hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}} = 1

Prendendo quest'ultima espressione, e derivandola membro a membro rispetto al tempo otteniamo:

\hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}} + \hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}}' = 0
2\left( \hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}} \right)=0
\hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}}=0

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di \hat{\mathbf{v}}'\cdot\hat{\mathbf{v}}, si evince che la derivata di un versore è sempre perpendicolare al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la proiezione di un vettore sull'altro, che si annulla sempre solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.

La derivata di un versore, in generale, non è un versore; per dimostrarlo basta considerare il generico versore in coordinate polari:

\hat{\mathbf{v}}(t) = \theta(t),\hat\theta + 1\,\hat{r}

che in coordinate cartesiane diviene:

\hat{\mathbf{v}}(t) = \cos\left(\theta(t)\right)\,\hat{\imath} + \sin\left(\theta(t)\right)\,\hat{\jmath}

derivando rispetto a t si ottiene:

\hat{\mathbf{v}}'(t) = \theta'(t)(-\sin(\theta(t))\,\hat{\imath} + \cos(\theta(t))\,\hat{\jmath})

dove il termine

-\sin(\theta(t))\,\hat{\imath} + \cos(\theta(t))\,\hat{\jmath}

è il versore ortogonale di modulo unitario,

e dove il termine:

\theta'(t)

è in generale diverso dall'unità.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica