Versore

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In matematica, un versore è un vettore in uno spazio normato di modulo unitario, utilizzato per indicare una particolare direzione e verso.

Vengono spesso utilizzati i versori associati agli assi cartesiani nel piano

$\hat{\imath} = \left (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \qquad$ $\hat{\jmath} = \left (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right)$

e nello spazio tridimensionale

$\hat{\imath} = \left (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \qquad$ $\hat{\jmath} = \left (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \qquad$ $\hat{k} = \left (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right)$ .

In modo analogo vengono definiti i versori $\hat{e}_r$ ed $\hat{e}_\theta$ che in ogni punto dello spazio indicano rispettivamente la direzione radiale e angolare riguardanti le coordinate polari ed i versori $\hat{t}$ ed $\hat{n}$ , che indicano rispettivamente la direzione tangente e normale in ogni punto di una data traiettoria.

Dato un qualunque vettore $\mathbf{v}$ (diverso dal vettore nullo che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per l'inverso del suo modulo,

$\hat{v} = \frac {\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert}$

[modifica] Derivata di un versore

Sia v un versore. Dalla definizione di prodotto scalare e di modulo si ottiene la relazione

$\lVert\mathbf{v}\rVert^2=\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}$

Derivando membro a membro, e ricordando che il modulo di un versore è costante, e quindi ha derivata nulla, risulta:

$\mathbf{v'} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{v'} = 2\left( \mathbf{v'} \cdot \mathbf{v} \right)=0 \Longleftrightarrow \mathbf{v'} \cdot \mathbf{v}=0$

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di v'·v, si evince che la derivata di un versore è sempre perpendicolare al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la proiezione di un vettore sull'altro, che si annulla sempre solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.

La derivata di un versore, in generale, non e' un versore, per dimostrarlo basta considerare il versore in coordinate polari :

$\hat{v}(t) = \cos(\theta(t))\hat{i} + \sin(\theta(t))\hat{j}$