Versore

In matematica, un versore è un vettore in uno spazio normato di modulo unitario, utilizzato per indicare una particolare direzione e verso.

Dato un qualunque vettore $\mathbf{v}$ (diverso dal vettore nullo che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per l'inverso del suo modulo,

$\hat{\mathbf v} = \frac {\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert}$

Esempi di versori comunemente utilizzati sono:

• i versori associati agli assi cartesiani nello spazio: sono una terna di vettori di modulo unitario, ognuno parallelo ad uno degli assi coordinati. Sono indicati equivalentemente con:

1. $\hat{\imath},\ \hat{\jmath},\ \hat {k}$
2. $\mathbf{e}_x,\ \mathbf{e}_y,\ \mathbf{e}_z$
3. $\mathbf{e}_1,\ \mathbf{e}_2,\ \mathbf{e}_3$
4. $\hat{\mathbf{x}},\ \hat{\mathbf{y}},\ \hat{\mathbf{z}}$
5. $\mathbf{x}_0,\ \mathbf{y}_0,\ \mathbf{z}_0$
6. $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{bmatrix},\ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\0 \end{bmatrix},\ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\1 \end{bmatrix}$

• i versori associati agli assi cartesiani nel piano: analoghi dei precedenti. Sono indicati come i precedenti, con l'eccezione che il terzo versore è mancante.
• i versori associati ad un sistema di coordinate polari nel piano, che indicano la direzione radiale ed angolare. Si possono indicare con:

1. $\hat{r},\ \hat{\theta}$
2. $\hat{\mathbf{r}},\ \hat{\boldsymbol{\theta}}$
3. $\mathbf{e}_r,\ \mathbf{e}_{\theta}$
4. $\mathbf{r}_0,\ \boldsymbol{\theta}_0$

• Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore tangente e il versore normale. Si indicano con:

1. $\hat{t},\ \hat{n}$
2. $\hat{\mathbf{t}},\ \hat{\mathbf{t}}$
3. $\mathbf{e}_t,\ \mathbf{e}_n$

Derivata di un versore

Sia $\hat{\mathbf{v}}(t)$ un versore dipendente dal tempo. Se consideriamo il prodotto scalare di questo vettore per se stesso abbiamo:

$\hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}} = \left|\hat{\mathbf{v}}\right|^2$

ricordando che i versori hanno modulo unitario:

$\hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}} = 1$

Prendendo quest'ultima espressione, e derivandola membro a membro rispetto al tempo otteniamo:

$\hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}} + \hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}}' = 0$

$2\left( \hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}} \right)=0$

$\hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}}=0$

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di $\hat{\mathbf{v}}'\cdot\hat{\mathbf{v}}$, si evince che la derivata di un versore è sempre perpendicolare al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la proiezione di un vettore sull'altro, che si annulla sempre solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.

La derivata di un versore, in generale, non è un versore; per dimostrarlo basta considerare il generico versore in coordinate polari:

$\hat{\mathbf{v}}(t) = \theta(t),\hat\theta + 1\,\hat{r}$

che in coordinate cartesiane diviene:

$\hat{\mathbf{v}}(t) = \cos\left(\theta(t)\right)\,\hat{\imath} + \sin\left(\theta(t)\right)\,\hat{\jmath}$

derivando rispetto a $t$ si ottiene:

$\hat{\mathbf{v}}'(t) = \theta'(t)(-\sin(\theta(t))\,\hat{\imath} + \cos(\theta(t))\,\hat{\jmath})$

dove il termine

$-\sin(\theta(t))\,\hat{\imath} + \cos(\theta(t))\,\hat{\jmath}$

è il versore ortogonale di modulo unitario,

e dove il termine:

$\theta'(t)$

è in generale diverso dall'unità.

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