Varietà pseudo-riemanniana

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In geometria differenziale, una varietà pseudo-riemanniana è una varietà differenziabile dotata di un tensore metrico non degenere. Questa nozione generalizza quella di varietà riemanniana ed è utile nella formulazione della relatività generale.

Una varietà lorentziana è una varietà pseudo-riemanniana il cui tensore metrico ha segnatura (n-1,1). La relatività generale modellizza lo spaziotempo come una varietà lorentziana con segnatura (3,1).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La definizione di varietà pseudo-riemanniana è la seguente.

Una varietà pseudo-riemanniana è una varietà differenziabile dotata di un tensore metrico che rappresenta un prodotto scalare non degenere sullo spazio tangente ad ogni punto della varietà.

Per il teorema di Sylvester, il tipo di prodotto scalare è determinato dalla sua segnatura. Se il prodotto scalare ha segnatura (n,0), cioè è definito positivo, la varietà è detta varietà riemanniana. Se ha segnatura (n-1,1) (oppure (1,n-1), a seconda delle convenzioni usate), la varietà è detta lorentziana.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Curvatura[modifica | modifica wikitesto]

Le usuali nozioni di curvatura definite per varietà riemanniane si estendono alle varietà pseudo-riemanniane. Come nel caso riemanniano, è infatti definita un'unica connessione di Levi-Civita che permette quindi di parlare di tensori di Riemann, di Ricci, curvatura scalare e curvatura sezionale.

Topologia[modifica | modifica wikitesto]

Ogni varietà differenziabile ammette varie metriche riemanniane; può però non ammettere metriche lorentziane o con altre segnature. Non è possibile infatti usare una partizione dell'unità per costruire metriche non riemanniane.

Sottovarietà[modifica | modifica wikitesto]

Una sottovarietà differenziabile di una varietà pseudo-riemanniana può non essere una varietà riemanniana. Questo è dovuto al fatto che la restrizione ad un sottospazio vettoriale di un prodotto scalare non degenere può essere degenere. Ad esempio, una curva può avere in qualche punto una tangente isotropa.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio euclideo \R^n può essere dotato di un prodotto scalare con segnatura arbitraria (k,n-k). Il risultato è una varietà pseudo-riemanniana con curvatura nulla. Lo spazio \R^4 con segnatura (3,1) è lo spaziotempo di Minkowski.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • I.M. Benn e R.W. Tucker, An introduction to Spinors and Geometry with Applications in Physics, First published 1987, Adam Hilger, 1987, ISBN 0-85274-169-3.
  • Richard L. Bishop e Samuel I. Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds, First Dover 1980, The Macmillan Company, 1968, ISBN 0-486-64039-6.
  • Bang-Yen Chen, Pseudo-Riemannian Geometry, [delta]-invariants and Applications, World Scientific Publisher, 2011, ISBN 13-978-981-4329-63-7 .
  • G. Vrănceanu & R. Roşca (1976) Introduction to Relativity and Pseudo-Riemannian Geometry, Bucarest: Editura Academiei Republicii Socialiste România.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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