Tensore di Riemann

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In geometria differenziale, il tensore di Riemann è un oggetto che codifica nel modo più completo la curvatura di una varietà riemanniana. Il tensore di Riemann è un tensore di tipo (1,3) ed è generalmente indicato (nella notazione con indici) tramite il simbolo

R^i_{jkl}\,\!.

Tutte le altre entità che descrivono la curvatura di una varietà possono essere dedotte dal tensore di Riemann: ad esempio, il tensore di Ricci (un tensore di tipo (0,2)), la curvatura scalare e la curvatura sezionale.

Il tensore di Riemann è definito per ogni varietà riemanniana (cioè varietà differenziabile dotata di un tensore metrico definito positivo) e più generalmente per ogni varietà dotata di una connessione.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Definizione generale[modifica | modifica sorgente]

Sia M una varietà differenziabile dotata di una connessione. Il tensore di Riemann è il campo tensoriale R di tipo (1,3) che soddisfa l'uguaglianza

R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X,Y]} Z.

per ogni terna X,Y, Z di campi vettoriali su M. Il teorema di Schwarz asserisce che nello spazio euclideo le derivate parziali commutano: questo fatto non è vero in una varietà con connessione arbitraria, e il tensore di Riemann tiene conto in un certo senso di questo fenomeno. I primi due termini della formula sono infatti proprio le derivazioni commutate applicate ad un campo Z; la presenza del terzo termine, che fa uso della parentesi di Lie [,], è necessaria affinché R sia effettivamente un tensore.

Simboli di Christoffel[modifica | modifica sorgente]

Una connessione è pienamente individuata dai suoi simboli di Christoffel. Il tensore di Riemann può essere quindi rappresentato usando questi simboli in una qualsiasi carta, nel modo seguente.

{R^\sigma}_{\mu\nu\kappa} =
  {\partial{\Gamma^\sigma}_{\mu\nu} \over \partial x^\kappa} -
  {\partial{\Gamma^\sigma}_{\mu\kappa} \over \partial x^\nu} +
  {\Gamma^\lambda}_{\mu\nu}{\Gamma^\sigma}_{\kappa\lambda} -
  {\Gamma^\lambda}_{\mu\kappa}{\Gamma^\sigma}_{\nu\lambda}

Commutatori e indici[modifica | modifica sorgente]

Una definizione intermedia fra quelle date precedentemente può essere la seguente, espressa usando la notazione con indici. Come è già stato detto, le derivate covarianti lungo due direzioni non commutano. Il loro commutatore, applicato ad un vettore Z, risulta però avere una forma relativamente semplice; è la somma di una parte lineare in Z e di una parte lineare nella derivata covariante di Z:

[\nabla_\mu , \nabla_\nu] Z^\rho = R^\rho {}_{\sigma\mu\nu} Z^\sigma - T_{\mu\nu} {}^\lambda \nabla_\lambda Z^\rho.

I coefficienti di entrambi gli addendi sono tensori: il tensore di Riemann e la torsione.

Versione covariante[modifica | modifica sorgente]

Se M è una varietà riemanniana, il tensore di Riemann è definito in base alla sua connessione di Levi-Civita. Il tensore metrico g può inoltre essere usato per innalzare o abbassare gli indici di un tensore: in particolare, la versione completamente covariante del tensore di Riemann è il tensore di tipo (0,4) dato da

R_{\rho\sigma\mu\nu} = g_{\rho \zeta} {R^\zeta}_{\sigma\mu\nu}.

Proprietà algebriche[modifica | modifica sorgente]

Simmetrie di base[modifica | modifica sorgente]

Nella sua forma completamente covariante, il tensore di Riemann è antisimmetrico rispetto allo scambio dei primi due o degli ultimi due indici:


R_{\rho \sigma \mu \nu }  =  - R_{\sigma \rho \mu \nu } =  - R_{\rho \sigma \nu \mu } \,\!

ed è simmetrico rispetto allo scambio delle due coppie di indici:


R_{\rho \sigma \mu \nu }  =  R_{\mu \nu \rho \sigma }. \,\!

Prima identità di Bianchi[modifica | modifica sorgente]

Il tensore di Riemann soddisfa la prima identità di Bianchi. In assenza di torsione, l'identità assume la forma seguente:


R^\rho  _{\sigma \mu \nu }  + R^\rho  _{\nu \sigma \mu }  + R^\rho  _{\mu \nu \sigma }  = 0. \,\!

Questa relazione può essere anche descritta più stringatamente nel modo seguente:

 R^\rho  _{[\sigma \mu \nu]} = 0. \,\!

In questa espressione,  [\sigma \mu \nu] indica che si deve effettuare una somma su tutte le permutazioni dei tre indici, con un segno corrispondente alla parità della permutazione. Risultano quindi 6 termini, che però possono essere accoppiati in virtù delle proprietà di base descritte prima.

Componenti indipendenti[modifica | modifica sorgente]

Il tensore di Riemann ha n^4 componenti, dove n è la dimensione della varietà su cui è definito. Le relazioni appena descritte riducono questo numero a

\frac 1{12} n^2(n^2-1)

componenti indipendenti. In dimensione 1, 2, 3 e 4 il numero di componenti indipendenti è quindi rispettivamente 0, 1, 6, 20.

Seconda identità di Bianchi[modifica | modifica sorgente]

La seconda identità di Bianchi è simile alla prima, ma tiene conto della derivata covariante del tensore di Riemann. In assenza di torsione, l'identità ha la forma seguente:


\nabla_\lambda R_{\rho \sigma \mu \nu}  + \nabla_\rho R_{\sigma \lambda \mu \nu }  + \nabla_\sigma R_{\lambda \rho \mu \nu}  = 0, \,\!

Come sopra, questa uguaglianza può essere scritta più concisamente:


\nabla_{[\lambda} R_{\rho \sigma] \mu \nu} = 0.

Dalla seconda identità di Bianchi segue che il tensore di Einstein ha divergenza nulla.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Superficie[modifica | modifica sorgente]

Il tensore di Riemann di una superficie è dato da

R_{\rho\sigma\mu\nu} = K(g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu} - g_{\rho\nu}g_{\sigma\mu})

dove K è la curvatura gaussiana e g è il tensore metrico.

Spazio euclideo[modifica | modifica sorgente]

In uno spazio euclideo, il tensore di Riemann è nullo. Una varietà riemanniana con tensore di Riemann nullo è detta piatta.

Proprietà geometriche[modifica | modifica sorgente]

Curvatura sezionale[modifica | modifica sorgente]

La curvatura sezionale è definita a partire dal tensore di Riemann. D'altra parte, il tensore di Riemann è completamente determinato dalla curvatura sezionale, tramite la formula

6\langle R(u,v)w,z \rangle =^{}_{}
=K(u+z,v+w)-K(u+z,v)-K(u+z,w)-K(u,v+w)-K(z,v+w)-K(v+z,u)+K(u,w)+^{}_{}
+K(v,z)-K(u+w,v+z)-K(u+w,v)-K(u+w,z)-K(u,v+z)-K(w,v+z)-K(u+w,v)+^{}_{}
+K(v,w)+K(u,z)^{}_{}

Varietà piatta[modifica | modifica sorgente]

Una varietà riemanniana, o più generalmente pseudo-riemanniana, è piatta se ogni punto ha una carta in cui il tensore metrico g è costante. Questa definizione risulta essere equivalente a varie altre: tra queste, vi è l'annullarsi del tensore di Riemann.

Una varietà (pseudo-)riemanniana è quindi piatta se e solo se il tensore di Riemann è ovunque nullo:

R_{\rho\sigma\mu\nu} = 0.

Questa proprietà non è soddisfatta dal tensore di Ricci, né dalla curvatura scalare: esistono varietà con tensore di Ricci nullo che non sono piatte.

Geodetiche[modifica | modifica sorgente]

Il tensore di Riemann è utile a misurare l'avvicinamento o allontanamento delle geodetiche, fenomeno tipico degli spazi curvi. Nello spazio euclideo, due punti che si muovono nella stessa direzione alla stessa velocità rimangono a distanza costante. Questo non avviene in una più generale varietà (pseudo-)riemanniana. In una varietà non ha neppure senso parlare di "stessa direzione" di partenza: l'unico strumento per comparare vettori tangenti a punti diversi è infatti il trasporto parallelo lungo un cammino che unisce i due punti; il trasporto parallelo dipende però fortemente dal cammino scelto!

Si può comunque caratterizzare la proprietà di avvicinamento o allontanamento delle geodetiche, considerando una famiglia di geodetiche

\gamma_s(t)

disgiunte, dipendente (in modo liscio) da un parametro reale s. Ciascuna geodetica è parametrizzata dalla sua lunghezza d'arco. Questa famiglia definisce quindi una superficie parametrica dentro M. I due parametri s e t determinano due campi vettoriali S e T tangenti alla superficie. Il primo misura la deviazione fra le varie geodetiche, il secondo è costituito dai vettori tangenti a quelle. Si può quindi definire la velocità relativa e l'accelerazione relativa fra geodetiche come i campi vettoriali:

 V = \nabla_T S, \quad a = \nabla_T V.

Se la connessione è senza torsione, vale la relazione seguente, nota come equazione della deviazione geodetica:

 a = R(T,S)T.

Con gli indici:

 a^\mu = \frac{D^2}{ds^2}S^\mu = R^\mu {}_{\nu\rho\sigma} T^\nu T^\rho S^\sigma.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione). ISBN 0-471-15733-3.
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