Curvatura gaussiana

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Un iperboloide, un cilindro e una sfera: si tratta di superfici con curvatura gaussiana (rispettivamente) negativa, nulla e positiva.

In geometria differenziale, la curvatura gaussiana è una misura della curvatura di una superficie in un punto.

La curvatura gaussiana in un punto  x di una superficie contenuta nello spazio euclideo è definita come il prodotto delle due curvature principali in  x . La curvatura gaussiana, a differenza delle curvature principali, è una curvatura intrinseca: dipende cioè soltanto dalle distanze fra punti all'interno della superficie, e non da come questa sia contenuta nello spazio tridimensionale. Questo fatto importante è asserito dal teorema egregium di Gauss.

Un altro tipo di curvatura calcolato a partire dalle curvature principali è la curvatura media. A differenza della curvatura di Gauss, la curvatura media non è intrinseca.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Hessiano[modifica | modifica sorgente]

Una semplice definizione della curvatura gaussiana di una superficie è la seguente. La curvatura gaussiana non cambia se la superficie viene spostata con movimenti rigidi. Per definire la curvatura gaussiana di una superficie  X in un punto P, possiamo quindi ruotare X in modo che il piano tangente in P sia orizzontale. A questo punto la superficie è descritta (almeno localmente, in un intorno di P) come grafico di una funzione

f:A\to\R

avente come dominio un aperto A di \R^2. La curvatura gaussiana in P = (x,y,f(x,y)) è il determinante dell'hessiano di f in (x,y). Perché questa definizione abbia senso, la funzione deve essere differenziabile almeno due volte: l'hessiano è infatti la matrice simmetrica  2\times 2 data dalle derivate parziali seconde di f.

Curvature principali[modifica | modifica sorgente]

La curvatura gaussiana di una superficie più generale  X in un punto x è il prodotto k_1k_2 delle curvature principali. Per definire le curvature principali è necessario fissare una normale alla superficie in X : poiché la normale opposta dà curvature con segni opposti, il loro prodotto è però ben definito anche senza questa scelta.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Curvatura costante[modifica | modifica sorgente]

Un piano o un cilindro hanno curvatura gaussiana ovunque nulla. Una sfera di raggio r ha curvatura gaussiana ovunque 1/r^2.

Esempio puntuale[modifica | modifica sorgente]

Il paraboloide f(x,y)=x^2+y^2 ha curvatura positiva nel suo punto di minimo, pari al determinante dell'hessiano. Ha curvatura positiva anche negli altri punti, ma con valore differente dal determinante.

La funzione

f(x,y) = ax^2+by^2

ha gradiente (2ax,2by). Il gradiente è nullo nell'origine, e quindi la curvatura gaussiana del grafico  X di f in (0,0) è il determinante dell'hessiano. L'hessiano è

\begin{pmatrix} 2a & 0 \\ 0 & 2b \end{pmatrix}

ed il suo determinante è 4ab. La curvatura di X in (0,0) è quindi 4ab. Questa è ad esempio negativa in presenza di un punto di sella, ove a e b hanno segni discordi.

Questo metodo per calcolare la curvatura è però funzionante solo in (0,0), dove il gradiente si annulla.

Curvatura totale[modifica | modifica sorgente]

La somma degli angoli di un triangolo su una superficie di curvatura negativa è minore di quella che si ottiene su un triangolo piano (cioè \pi).

La curvatura totale di una regione  A della superficie  X è l'integrale di superficie

\int_AK\,ds

della curvatura gaussiana K su A. La curvatura totale misura quanto si differenzia globalmente la geometria di A da quella di una regione piatta sul piano: ad esempio, la curvatura totale di un triangolo geodetico  T è pari alla differenza fra la somma dei suoi angoli interni (in radianti) e \pi. In altre parole,

\sum_{i=1}^3 \theta_i = \pi + \int_T K \,ds

dove \theta_1, \theta_2 e \theta_3 sono gli angoli interni.

La somma degli angoli di un triangolo su una sfera, che ha curvatura positiva, è maggiore di \pi.

La somma degli angoli di un triangolo su una superficie di curvatura ovunque positiva è maggiore di \pi, mentre è minore se la superficie ha curvatura ovunque negativa.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Teorema egregium[modifica | modifica sorgente]

Per il teorema egregium dimostrato da Gauss nel 1828, la curvatura gaussiana dipende solo dalla sua prima forma fondamentale, cioè dal suo tensore metrico.

La curvatura gaussiana è quindi invariante per isometrie della superficie: si tratta cioè di una proprietà intrinseca della superficie. Una isometria non è necessariamente un movimento rigido dello spazio: un esempio è fornito da un foglio di carta, che può essere arrotolato fino a formare un cilindro. Piano e cilindro sono (almeno localmente) isometrici.

Gauss-Bonnet[modifica | modifica sorgente]

Il teorema di Gauss-Bonnet fornisce una stretta connessione fra la curvatura totale di una superficie e la sua topologia. Se  X è una superficie compatta, il teorema asserisce che

\int_XK\,ds = 2\pi\chi(X)

cioè la curvatura totale della superficie è pari alla sua caratteristica di Eulero, moltiplicata per 2\pi.

Ad esempio, una sfera di raggio  r ha caratteristica 2, e la sua curvatura totale è sempre 4\pi, indipendentemente da r. Infatti, è pari al prodotto fra l'area 4\pi r^2 e la curvatura, che è costantemente pari a 1/r^2 , poiché entrambe le curvature principali sono 1/r. Più sorprendentemente, la curvatura totale di una qualsiasi superficie omeomorfa alla sfera (ad esempio, il bordo di un ellissoide) è sempre 4\pi.

I punti più esterni di un Toro hanno curvatura positiva, quelli più interni negativa, e si compensano in modo che l'integrale sulla superficie sia nullo.

Un toro ha caratteristica di Eulero nulla. Ne segue che la sua curvatura totale è nulla: o questa è ovunque nulla (cosa però impossibile per un toro contenuto nello spazio tridimensionale), oppure presenta zone di curvatura positiva e zone di curvatura negativa.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Manfredo do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, 1976, ISBN 0-13-212589-7.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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