Caratteristica di Eulero

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In matematica, e più precisamente in geometria e topologia, la caratteristica di Eulero è un numero intero che descrive alcuni aspetti della forma di uno spazio topologico. Si denota comunemente con \chi (lettera greca chi).

La caratteristica di Eulero fu formulata originariamente per i poliedri, ed usata per dimostrare vari teoremi, inclusa la classificazione dei solidi platonici: Eulero partecipò attivamente a queste ricerche.

Nella matematica moderna, la caratteristica di Eulero, chiamata anche caratteristica di Eulero-Poincaré, è definita in un ambito più generale a partire da una omologia, introdotta dal matematico Henri Poincaré.

Poliedri[modifica | modifica wikitesto]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La caratteristica di Eulero \chi fu definita inizialmente per i poliedri, con la formula

\chi=V-S+F,

dove V,S e F sono rispettivamente il numero di vertici, spigoli e facce del poliedro.

Relazione di Eulero[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Relazione di Eulero.

La relazione di Eulero asserisce che

\chi = V-S+F = 2

per tutti i poliedri "senza buchi", ovvero semplicemente connessi. I poliedri convessi rientrano in questa categoria.

Esempi di poliedri convessi[modifica | modifica wikitesto]

La formula di Eulero può essere usata per dimostrare che ci sono solo 5 solidi platonici:

Nome Immagine V (vertici) S (spigoli) F (facce) Caratteristica di Eulero: VS + F
Tetraedro Tetrahedron.jpg 4 6 4 2
Cubo Hexahedron.jpg 8 12 6 2
Ottaedro Octahedron.jpg 6 12 8 2
Dodecaedro Dodecahedron.svg 20 30 12 2
Icosaedro Icosahedron.svg 12 30 20 2

Definizione formale[modifica | modifica wikitesto]

Complessi di celle o simpliciali[modifica | modifica wikitesto]

Un poliedro è un esempio di complesso di celle, o di complesso simpliciale: questi sono particolari spazi topologici costruiti a partire da vertici, spigoli, facce 2-dimensionali, facce 3-dimensionali, ecc. Per questi spazi la caratteristica di Eulero è definita semplicemente come

\chi = k_0 - k_1 + k_2 - k_3 + \cdots,

dove k_n è il numero di facce n-dimensionali (vertici e spigoli sono intesi come facce di dimensione 0 e 1).

Lo stesso spazio può essere descritto da molte decomposizioni in celle o simpliciali differenti, con valori k_i variabili: il fatto notevole, che rende la caratteristica di Eulero importante in geometria, è che la quantità \chi è però indipendente dalla decomposizione scelta.

Spazi topologici[modifica | modifica wikitesto]

Ancora più in generale, si può definire la caratteristica di Eulero-Poincaré di un qualsiasi spazio topologico con l'omologia: senza entrare nel dettaglio, si definisce  b_i come la dimensione dell'i-esimo gruppo di omologia, e quindi

\chi = b_0 - b_1 + b_2 - b_3 + \cdots.

Se lo spazio topologico non è troppo complicato, ciascun  b_i è effettivamente un numero (non è infinito), e  b_n è zero per ogni n sufficientemente grande.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La caratteristica di Eulero è un invariante topologico: due spazi topologici omeomorfi hanno la stessa caratteristica. Questo è un risultato molto forte, che implica in modo banale la formula di Eulero: i poliedri convessi sono infatti tutti omeomorfi alla sfera bidimensionale.

La caratteristica è anche invariante per equivalenza omotopica: due spazi omotopicamente equivalenti hanno la stessa caratteristica.

Se M e N sono spazi topologici disgiunti, abbiamo

\chi(M \cup N) = \chi(M) + \chi(N).

Più in generale, se M e N sono sottospazi di uno spazio più grande che non si intersecano in modo troppo complicato, vale la relazione

\chi(M \cup N) = \chi(M) + \chi(N) - \chi(M \cap N).

La caratteristica di Eulero di un prodotto di spazi M × N è

\chi(M \times N) = \chi(M) \cdot \chi(N).

Infine, grazie a dei teoremi profondi riguardanti l'omologia, la caratteristica di una varietà differenziabile di dimensione dispari è zero.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Spazi contrattili[modifica | modifica wikitesto]

Ogni spazio contrattile, cioè omotopicamente equivalente ad un punto, ha la stessa caratteristica di Eulero del punto, che è 1 perché il punto ha 1 vertice e 0 facce di ogni dimensione maggiore. Quindi la retta, il piano, e ogni spazio euclideo ha caratteristica di Eulero 1

Superfici[modifica | modifica wikitesto]

La caratteristica di Eulero di una superficie può essere calcolata agevolmente tramite una suddivisione in poligoni (cioè una descrizione come complesso di celle) ed un conteggio del numero di vertici, spigoli e poligoni. La caratteristica di Eulero è l'invariante fondamentale nella classificazione delle superfici.

Nome Immagine Caratteristica di Eulero
Sfera Sphere.jpg 2
Toro Torus.jpg 0
Superficie orientabile di genere 2 Double torus illustration.png -2
Superficie orientabile di genere 3. Triple torus illustration.png -4
Nastro di Möbius MobiusStrip-01.png 0
Piano proiettivo Boyle surface7.JPG 1
bottiglia di Klein KleinBottle-01.png 0
Due sfere (non connesso) Sphere.jpgSphere.jpg 2 + 2 = 4

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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