Ellissoide

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Rappresentazione di un ellissoide

In geometria, per ellissoide si intende il tipo di quadrica che costituisce l'analogo tridimensionale della ellisse nelle due dimensioni.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

L'equazione dell'ellissoide standard in un sistema di coordinate cartesiane Oxyz è

{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2} = 1,

dove a, b e c sono numeri reali positivi fissati che determinano la forma dell'ellissoide (semiassi). Se due di questi numeri sono uguali, l'ellissoide si dice sferoide o ellissoide di rotazione; se tutti e tre sono uguali, abbiamo una sfera.

Sferoide prolato

Se ci limitiamo a considerare le possibilità consentite da a \geq b \geq c>0, abbiamo la seguente casistica:

  • a > b > c, si ha un ellissoide scaleno;
  • a > b = c, si ha uno sferoide prolato (a forma di pallone da rugby);
  • a = b > c, si ha uno sferoide oblato (a forma di lenticchia);
  • a = b = c, si ha una sfera, come già segnalato.

Si definiscono assi centrali di inerzia gli assi di simmetria dell'ellissoide che formano un sistema di riferimento centrato nel baricentro dell'ellissoide.

Parametrizzazione[modifica | modifica sorgente]

Utilizzando le coordinate comuni, dove \beta è un punto di latitudine riduzione, o parametrico, e {\color{white}+}\!\!\!\lambda{\color{white}'} è la sua longitudine planetografica, un ellissoide può essere parametrizzato nel seguente modo:

\begin{align}
x&=a\,\cos(\beta)\cos(\lambda);\!{\color{white}|}\\
y&=b\,\cos(\beta)\sin(\lambda);\\
z&=c\,\sin(\beta);\end{align}
\begin{matrix}-90^\circ\leq\beta\leq+90^\circ;
\quad-180^\circ\leq\lambda\leq+180^\circ;\!{\color{white}\big|}\end{matrix}
(Si noti che questa non è parametrizzazione 1-1 ai poli, dove \scriptstyle{{\color{white}|}\beta=\pm{90}^\circ}{\color{white}|})

Oppure, utilizzando il sistema di coordinate sferiche, dove {\color{white}+}\!\!\!\theta{\color{white}'} è la colatitudine, detta anche zenit, e {\color{white}+}\!\!\!\varphi{\color{white}\!\!\!-} è la longitudine di 360°, detta anche azimuth:

\begin{align}
x&=a\,\sin(\theta)\cos(\varphi);\!{\color{white}|}\\
y&=b\,\sin(\theta)\sin(\varphi);\\
z&=c\,\cos(\theta);\end{align}
\begin{matrix}0\leq\theta\leq{180}^\circ;
\quad{0}\leq\varphi\leq{360}^\circ;\!{\color{white}\big|}\end{matrix}

Volume[modifica | modifica sorgente]

Il volume di un ellissoide si ottiene semplicemente da quello di una sfera e dall'effetto delle omotetie: \frac{4}{3} \pi abc.

Area superficiale[modifica | modifica sorgente]

L'area superficiale, invece, è fornita da espressioni molto più elaborate. Una espressione esatta è:

2\pi\left(c^2+b\sqrt{a^2-c^2}E(o\!\varepsilon,m)+\frac{bc^2}{\sqrt{a^2-c^2}}F(o\!\varepsilon,m)\right),

dove:

o\!\varepsilon=\arccos\left(\frac{c}{a}\right)
\!m:=\frac{b^2-c^2}{b^2\sin(o\!\varepsilon)^2};

mentre E(o\!\varepsilon,m), F(o\!\varepsilon,m) denotano gli integrali ellittici incompleti di primo e secondo genere rispettivamente.

Sono disponibili anche espressioni approssimate:

  • ellissoide piatto: = 2 \pi \left( ab \right)
  • sferoide prolato: \approx 2 \pi \left( c^2 + ac \frac{o\!\varepsilon}{\sin(o\!\varepsilon)} \right)
  • sferoide oblato: \approx 2 \pi \left( a^2 + c^2 \frac{\operatorname{arctanh}(\sin(o\!\varepsilon))}{\sin(o\!\varepsilon)}\right)
  • ellissoide scaleno: \approx 4 \pi \left( \frac{ a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p }{3} \right)^{1/p}

Se si utilizza p = 1,6075 si ha un errore relativo al più dell'1,061% (formula di Knud Thomsen); un valore p = 8/5 = 1,6 è ottimale per gli ellissoidi quasi sferici e presenta un errore relativo inferiore all'1,178% (formula di David W. Cantrell).

Manipolazioni lineari[modifica | modifica sorgente]

Se si applica una trasformazione lineare invertibile ad una sfera, si ottiene un ellissoide; in conseguenza del teorema spettrale questo ellissoide si può ricondurre alla forma standard.

L'intersezione di un ellissoide con un piano può essere o l'insieme vuoto, o un insieme contenente un singolo punto, o una ellisse.

Dimensioni superiori[modifica | modifica sorgente]

Si può anche definire un ellissoide in più di 3 dimensioni, come immagine di un'ipersfera sottoposta ad una trasformazione lineare invertibile. Il teorema spettrale garantisce ancora la possibilità di ottenere una equazione standard della forma

{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}+{t^2 \over d^2} = 1.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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