Quadrica

In matematica e in particolare in geometria una quadrica (o superficie quadrica) è una (iper-)superficie di uno spazio D-dimensionale sui complessi o sui reali rappresentata da un'equazione polinomiale del secondo ordine nelle variabili spaziali (coordinate). Se le coordinate spaziali sono $\{x_1, x_2, ... x_D\}$, allora la generale quadrica nello spazio C^D (o R^D) è definita da un'equazione della forma

$\sum_{i,j=1}^D Q_{i,j} x_i x_j + \sum_{i=1}^D P_i x_i + R = 0,$

dove Q è una matrice (non nulla), P un vettore e R una costante.

Un punto qualsiasi di una superficie quadrica si definisce iperbolico, parabolico o ellittico a seconda che il piano tangente alla superficie in quel punto taglia la quadrica in due rette reali e distinte, coincidenti o immaginarie coniugate. I punti di una quadrica sono tutti dello stesso tipo, cioè o tutti iperbolici o tutti parabolici o tutti ellittici. Tale caratteristica dipende solo dal segno del determinante della quadrica (invariante nei sistemi di riferimento cartesiani ortogonali) e viene spesso posta in evidenza come aggettivo della quadrica (ad esempio, iperboloide iperbolico).

Attraverso traslazioni e rotazioni ogni quadrica può essere trasformata in una forma "normalizzata", sensibilmente più semplice di quella generale. Ad esempio, l'equazione normalizzata di molte quadriche nello spazio a tre dimensioni (D=3) è:

$\pm {x^2 \over a^2} \pm {y^2 \over b^2} \pm {z^2 \over c^2} \,=\, 1$

Nello spazio euclideo tridimensionale ogni quadrica può essere scritta in una delle seguenti 9 forme normalizzate:

Quadriche non degeneri
Ellissoide	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1$
Sferoide (caso particolare di ellissoide)	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over b^2} = 1$
Sfera (caso particolare di sferoide)	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over a^2} = 1$
Paraboloide ellittico	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - z = 0$
Paraboloide circolare (caso particolare di paraboloide ellittico)	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} - z = 0$
Paraboloide iperbolico	${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} - z = 0$
Iperboloide ad una falda (iperboloide iperbolico)	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 1$
Iperboloide a due falde (iperboloide ellittico)	$- { x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1$
Quadriche degeneri
Cono	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 0$
Cilindro ellittico	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1$
Cilindro circolare (caso particolare di cilindro ellittico)	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} = 1$
Cilindro iperbolico	${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1$
Cilindro parabolico	$x^2 + 2ay = 0$

Nello spazio proiettivo reale, a meno di una trasformazione proiettiva ci sono tre classi di equivalenza di quadriche:

• il cono, il cilindro e le altre quadriche "degeneri", cioè con curvatura gaussiana zero, sono tra loro equivalenti;
• i due paraboloidi iperbolici e le superfici rigate sono tra loro equivalenti;
• l'ellissoide, il paraboloide ellittico, l'iperboloide a due falde e le rimanenti quadriche sono tra loro equivalenti.

Nello spazio proiettivo complesso tutte le quadriche non degeneri sono tra loro equivalenti, a meno di trasformazioni proiettive.

Bibliografia

Giuseppe Vaccaro, Ordinario Università di Roma - Lezioni di geometria - Vol. I - Seconda edizione - Veschi, Roma

Collegamenti esterni

• http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node61.html, 16 Quadrics in Geometry Formulas and Facts di Silvio Levy, estratto dalla trentesima edizione diCRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press).

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