Quadrica

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In matematica e in particolare in geometria una quadrica (o superficie quadrica) è una (iper-)superficie di uno spazio D-dimensionale sui complessi o sui reali rappresentata da un'equazione polinomiale del secondo ordine nelle variabili spaziali (coordinate). Se le coordinate spaziali sono \{x_1, x_2, ... x_D\}, allora la generale quadrica nello spazio CD (o RD) è definita da un'equazione della forma

 \sum_{i,j=1}^D Q_{i,j}  x_i  x_j + \sum_{i=1}^D P_i  x_i + R = 0,

dove Q è una matrice (non nulla), P un vettore e R una costante.

Un punto qualsiasi di una superficie quadrica si definisce iperbolico, parabolico o ellittico a seconda che il piano tangente alla superficie in quel punto tagli la quadrica in due rette reali e distinte, coincidenti o immaginarie coniugate. I punti di una quadrica sono tutti dello stesso tipo, cioè o tutti iperbolici o tutti parabolici o tutti ellittici. Tale caratteristica dipende solo dal segno del determinante della quadrica (invariante nei sistemi di riferimento cartesiani ortogonali) e viene spesso posta in evidenza come aggettivo della quadrica (ad esempio, iperboloide iperbolico).

Attraverso traslazioni e rotazioni ogni quadrica può essere trasformata in una forma "normalizzata", sensibilmente più semplice di quella generale. Ad esempio, l'equazione normalizzata di molte quadriche nello spazio a tre dimensioni (D=3) è:

 \pm {x^2 \over a^2} \pm {y^2 \over b^2} \pm {z^2 \over c^2} \,=\, 1

Nello spazio euclideo tridimensionale ogni quadrica può essere scritta in una delle seguenti 9 forme normalizzate:

Quadriche non degeneri
Ellissoide {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1 Quadric Ellipsoid.jpg
Sferoide (caso particolare di ellissoide)    {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over b^2} = 1
Sfera (caso particolare di sferoide) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over a^2} = 1
Paraboloide ellittico {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - z = 0 Quadric Elliptic Paraboloid.jpg
Paraboloide circolare (caso particolare di paraboloide ellittico) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} - z = 0
Paraboloide iperbolico {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} - z = 0  Quadric Hyperbolic Paraboloid.jpg
Iperboloide ad una falda (iperboloide iperbolico) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 1 Quadric Hyperboloid 1.jpg
Iperboloide a due falde (iperboloide ellittico)  - { x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1 Quadric Hyperboloid 2.jpg
Quadriche degeneri
Cono {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 0 Quadric Cone.jpg
Cilindro ellittico {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1 Quadric Elliptic Cylinder.jpg
Cilindro circolare (caso particolare di cilindro ellittico) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} = 1
Cilindro iperbolico {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1 Quadric Hyperbolic Cylinder.jpg
Cilindro parabolico x^2 + 2ay = 0 Quadric Parabolic Cylinder.jpg

Nello spazio proiettivo reale, a meno di una trasformazione proiettiva ci sono tre classi di equivalenza di quadriche:

  • il cono, il cilindro e le altre quadriche "degeneri", cioè con curvatura gaussiana zero, sono tra loro equivalenti;
  • i due paraboloidi iperbolici e le superfici rigate sono tra loro equivalenti;
  • l'ellissoide, il paraboloide ellittico, l'iperboloide a due falde e le rimanenti quadriche sono tra loro equivalenti.

Nello spazio proiettivo complesso tutte le quadriche non degeneri sono tra loro equivalenti, a meno di trasformazioni proiettive.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Giuseppe Vaccaro, Ordinario Università di Roma - Lezioni di geometria - Vol. I - Seconda edizione - Veschi, Roma

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