Paraboloide

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In geometria un paraboloide è una quadrica, un tipo di superficie in uno spazio a tre dimensioni, descritta da un'equazione della forma:


\left( \frac{x}{a} \right) ^2 + \left( \frac{y}{b} \right) ^2  = \frac{z}{c} \ \quad
(paraboloide ellittico)

Paraboloide.png

o della forma


\left( \frac{x}{a} \right) ^2 - \left( \frac{y}{b} \right) ^2  = \frac{z}{c} 
\quad (paraboloide iperbolico).

Parabolide-sella.png

Dove a e b rappresentano il grado di curvatura nel piano x-z e y-z, mentre c rappresenta la direzione di apertura del paraboloide, verso l'alto per c>0 (per il paraboloide ellittico) e verso il basso lungo l' asse x per c>0 (per il paraboloide iperbolico).

Perché "ellittico" e "iperbolico"?[modifica | modifica wikitesto]

Il motivo di queste denominazioni è subito chiaro osservando le sezioni orizzontali delle due superfici:

  • Paraboloide ellittico:

Paraboloide-ellittico-sezione-oriz.png

  • Paraboloide iperbolico:

Paraboloide-iperbolico-sezione-oriz.png

È evidente che nel primo caso la sezione è un'ellisse e nel secondo è un'iperbole. Algebricamente, intersecare una superficie con un piano orizzontale equivale a risolvere il sistema tra l'equazione che descrive la superficie e l'equazione z = z0, dove z0 è una costante. Se poniamo ad esempio


z= - \frac{1}{2}

otteniamo:


\left( \frac{x}{a} \right) ^2 + \left( \frac{y}{b} \right) ^2  = 1 \quad

che non è altro che l'equazione dell'ellisse. Variando il valore di z, ovvero variando la posizione del piano orizzontale, si ottengono ellissi di dimensioni diverse.


Nel secondo caso (paraboloide iperbolico), la sezione retta è un'iperbole; infatti, ponendo anche in questo caso


z= - \frac{1}{2}

abbiamo


\left( \frac{x}{a} \right) ^2 - \left( \frac{y}{b} \right) ^2  = 1 \quad

che è proprio l'equazione di un'iperbole.

Perché "paraboloide"[modifica | modifica wikitesto]

Paraboloide iperbolico

Il nome della superficie deriva dal fatto che le sue sezioni verticali sono appunto delle parabole.

Quando a = b un paraboloide ellittico viene detto paraboloide di rivoluzione, cioè una superficie ottenuta dalla rotazione di una parabola attorno al suo asse. Questa superficie è anche chiamata paraboloide circolare.

Hanno la forma del paraboloide di rotazione i riflettori parabolici usati come specchi, come antenne piatte e per analoghi dispositivi, come le antenne paraboliche. La ragione di ciò è dovuta al fatto che una sorgente di luce collocata nel punto focale di un paraboloide di rotazione produce un fascio di luce parallelo all'asse della superficie, e viceversa un fascio di luce parallelo che incide su un paraboloide di rotazione nella direzione del suo asse si concentra nel suo punto focale: questi effetti si hanno naturalmente anche per onde elettromagnetiche con frequenze in intervalli diversi dal visibile.

Poiché le sorgenti luminose o elettromagnetiche sono così distanti da potere immaginare che i fasci d'onda siano paralleli, se ne deduce che la forma a paraboloide di rotazione permette di "catturare" una maggior quantità di informazione e farla convergere in un unico punto.

Tipi di paraboloide[modifica | modifica wikitesto]

  • paraboloide circolare o di rotazione
  • paraboloide ellittico
  • paraboloide iperbolico

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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