Integrale ellittico

In matematica e particolarmente nel calcolo integrale, gli integrali ellittici sono emersi originariamente in connessione con il problema del calcolo della lunghezza degli archi di una ellisse; i primi a studiarli sono stati Giulio Fagnano ed Eulero.

Secondo la definizione moderna, un integrale ellittico è una qualsiasi funzione f che può esprimersi nella forma

$f(x) = \int_{c}^{x} R(t,P(t))\ dt$

dove R denota una funzione razionale dei suoi due argomenti, P è la radice quadrata di un polinomio di grado 3 o 4 (di una cubica o di una quartica) privo di radici multiple, e c è una costante.

In generale, gli integrali ellittici non possono essere espressi in termini di funzioni elementari; si hanno eccezioni a questo fatto quando P ha radici ripetute, o quando R(x,y) non contiene potenze dispari di y. Comunque, con appropriate riduzioni delle formule, ogni integrale ellittico può essere riportato a una forma che coinvolge integrali di funzioni razionali, e le tre forme canoniche: integrali ellittici di prima, seconda e terza specie.

Oltre alle forme sopra definite, gli integrali ellittici possono essere espressi nella forma di Legendre e nella forma simmetrica di Carlson. Ulteriori informazioni nella teoria degli integrali incompleti possono essere ricavate tramite l'utilizzo della trasformazione di Schwarz-Christoffel.

Notazione

Gli integrali ellittici sono spesso espressi come funzioni di argomenti variamente definiti. Queste rappresentazioni sono completamente equivalenti (danno lo stesso integrale ellittico), ma possono confondere a causa del loro differente aspetto. La maggior parte dei testi utilizza uno schema canonico di nomi. Prima di definire gli integrali ellittici, diamo un'occhiata alle convenzioni sui nomi degli argomenti:

• k è il modulo ellittico
• m=k² è il parametro
• $\alpha$ è l' angolo modulare, $k=\sin \alpha$

Si può notare ovviamente che se si assegna una qualsiasi di queste relazioni, le altre ne sono completamente determinate.

Gli integrali ellittici dipenderanno anche da un altro argomento; anche questo è definito in un numero di modi:

• $\phi$ ossia l' ampiezza
• x dove $x=\sin \phi= \textrm{sn} \; u$
• u, dove x=sn u e sn è una delle funzioni ellittiche Jacobiane.

Ancora una volta, specificatene una, le altre ne discendono immediatamente ed è quindi chiaro che si può scegliere quella più comoda. Si noti che u dipende anche da m. Alcune relazioni addizionali che coinvolgono u includono

$\cos \phi = \textrm{cn}\; u$

e

$\sqrt{1-m\sin^2 \phi} = \textrm{dn}\; u$.

Questa ultima è qualche volta nota come delta amplitudine ed è scritta come $\Delta(\phi)=\textrm{dn}\; u$. A volte ci si riferisce in letteratura come parametro complementare, modulo complementare o angolo modulare complementare.

Integrale ellittico incompleto di prima specie

L' Integrale ellittico incompleto di prima specie F è definito, nella forma di Jacobi, come:

$F(x;k) = \int_{0}^{x} \frac{1}{ \sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)} }\ dt$

Equivalentemente, usando una notazione alternativa,

$F(x;k) = F(\phi|m) = F(\phi\setminus \alpha ) = \int_0^\phi \frac{1}{ \sqrt{1-\sin^2 \alpha \sin^2 \theta}} \ d\theta$

dove si comprende che quando si usa la barra verticale, l'argomento che segue la barra verticale è il parametro (come definito sopra), e, quando si usa la barra obliqua a backslash, l'argomento è il modulo angolare. Si noti che:

$F(x;k) = u$

con u definito come sopra: le funzioni ellittiche di Jacobi sono le inverse degli integrali ellittici.

Integrale ellittico incompleto di seconda specie

L' integrale ellittico incompleto di seconda specie E è

$E(x;k) = \int_{0}^{x} \frac{ \sqrt{1-k^2 t^2} }{ \sqrt{1-t^2} }\ dt$

In maniera equivalente, usando la notazione alternativa:

$E(x;k) = E(\phi|m) = E(\phi\setminus \alpha ) = \int_0^\phi \sqrt{1-\sin^2 \alpha \sin^2 \theta} \ d\theta$

In Statistica tale tipologia di integrale può essere utilizzato per rappresentare la lunghezza di curve continue crescenti come la curva di Lorenz (o spezzata di Lorenz) dove Φ=1 e θ=(θ1, θ2, …, θn) che indica il vettore dei parametri che individua l'elemento particolare nella famiglia di funzioni individuate dallo stesso integrale.

Ulteriori relazioni includono:

$E(\phi|m) = \int_0^u \textrm{dn}^2 w \;dw = u-m\int_0^u \textrm{sn}^2 w \;dw = (1-m)u+m\int_0^u \textrm{cn}^2 w \;dw$

Integrale ellittico incompleto di terza specie

L' integrale ellittico incompleto di terza specie $\Pi$ è

$\Pi(n; \phi|m) = \int_{0}^{x} \frac{1}{1-nt^2} \frac{1} {\sqrt{(1-k^2 t^2)(1-t^2) }}\ dt$

oppure

$\Pi(n; \phi|m) = \int_0^\phi \frac{1}{1-n\sin^2 \theta} \frac {1}{\sqrt{ (1-\sin^2 \alpha \sin^2 \theta) }} \ d\theta$

oppure

$\Pi(n; \phi|m) = \int_0^u \frac{1}{1-n \textrm{sn}^2 (w|m)} \; dw$

Il numero n si chiama caratteristica e può assumere qualsiasi valore, indipendentemente dagli altri argomenti. Si noti che il valore $\Pi(1;\pi/2|m)$ è infinito per qualsiasi valore di $m$.

Integrale ellittico completo di prima specie

L' integrale ellittico completo di prima specie K è definito come segue:

$K(k) = \int_{0}^{1} \frac{1}{ \sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)} }\ dt$

e può essere calcolato in termini di media aritmetica-geometrica.

Può anche essere calcolato con il seguente sviluppo in serie di Taylor:

$K(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} k^{2n} \frac{((2n)!)^2}{16^n (n!)^4}$

oppure in forma di integrale del seno, quando 0 ≤ k ≤ 1

$K( k ) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt {1 - k^2 \sin ^2 \theta }}$

L'integrale ellittico completo di prima specie è chiamato qualche volta in letteratura anglofona quarter period.

Integrale ellittico completo di seconda specie

L' integrale ellittico completo di seconda specie E è definito come:

$E(k) = \int_{0}^{1} \frac{ \sqrt{1-k^2 t^2} }{ \sqrt{1-t^2} }\ dt$

Oppure se 0 ≤ k ≤ 1:

$E( k ) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt {1 - k^2 \sin ^2 \theta}\ d\theta$

Cenno storico

Storicamente le funzioni ellittiche sono state scoperte come funzioni inverse degli integrali ellittici e in particolare la F tale che si abbia F(sn(z;k);k) = z, dove sn denota una delle funzioni ellittiche di Jacobi.

Voci correlate

• Forma di Legendre
• Forma simmetrica di Carlson
• Mappa di Schwarz-Christoffel

Bibliografia

• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. Vedi capitolo 17, pp. 587-627.
• George Greenhill The applications of elliptic functions (London, MacMillan, 1892) (pp. 30–65, pp. 175–253)
• Harris Hancock Elliptic integrals (New York, J. Wiley, 1917)
• Louis Vessot King On the direct numerical calculation of elliptic functions and integrals (Cambridge University Press, 1924)
• B. C. Carlson Three Improvements in Reduction and Computation of Elliptic Integrals Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology, '107, P. 413 (2002) (forma simmetrica di Carlson)

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