Funzione razionale

In matematica, una funzione razionale è una funzione scrivibile come rapporto fra polinomi.

Definizione

Funzione razionale y = (x²-3x-2)/(x²-4)

Una funzione razionale è una funzione del tipo

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

dove P(x) e Q(x) sono due polinomi. Ad esempio:

$f(x) = \frac{1+x-x^2}{1-x^3}.$

Una funzione razionale può essere reale o complessa, a seconda che i coefficienti dei polinomi siano numeri reali o complessi. Più in generale, i coefficienti devono essere elementi di un campo K (che può essere appunto $\R$ oppure $\mathbb C$).

Il dominio (anzi, più precisamente l'insieme di definizione) della funzione è l'insieme di tutti i valori x di K che non sono radici di Q. Ovvero, tutti gli x tali che il denominatore Q(x) è diverso da zero. Infatti solo per questi valori ha senso dividere P(x) per Q(x).

Ad esempio, la funzione razionale descritta sopra, se considerata sui numeri reali, è definita su tutto $\R$ meno il punto x = 1. Se considerata sui numeri complessi, è definita su tutto $\mathbb C$ meno le tre radici terze dell'unità

$x_1 = 1, x_2 = e^{2\pi i/3}, x_3 = e^{4\pi i/3}.\,\!$

Per comodità, nella discussione che segue si suppone che i polinomi P(x) e Q(x) non abbiano radici in comune.

Più variabili

L'espressione funzione razionale è anche usata per descrivere un rapporto fra polinomi con più variabili, come ad esempio

$f(x,y) = \frac{1+2x+y^2}y.$

Come sopra, la funzione è definita su tutti i punti di Kⁿ (dove n è il numero di variabili) per cui il denominatore non si annulla. Tale insieme non è però generalmente un numero finito di punti: si tratta di una più generale varietà affine.

Asintoti

La funzione razionale y = (x^3-2x)/(2(x^2-5)) ha due asintoti verticali ed uno obliquo.

Se considerata sui numeri reali, una funzione razionale può avere asintoti, che possono essere agevolmente individuati nel modo seguente.

• Asintoti verticali: sono le rette x = c_i, dove $c_1,\ldots, c_k$ sono le radici del polinomio Q(x) a denominatore.

• Asintoti orizzontali: sono presenti se e solo se il grado di Q(x) è maggiore o uguale al grado di P(x). Se hanno lo stesso grado l'asintoto orizzontale è la retta y = k, dove k è uguale al rapporto tra il coefficiente del termine di grado massimo di P(x) e il coefficiente del termine di grado massimo di Q(x), altrimenti l'asintoto è la retta y = 0. Questo è infatti il limite della funzione per $x\to\infty$. Quando il grado di P(x) è maggiore del grado di Q(x) il limite è infinito.

• Asintoti obliqui: sono presenti se e solo se il grado di P(x) è pari a quello di Q(x) più uno. Il coefficiente angolare dell'asintoto è pari al rapporto fra i coefficienti dei termini di grado massimo dei due polinomi.

Poli

Se considerata sui numeri complessi, una funzione razionale presenta un polo su ogni radice di Q(x), di ordine pari all'ordine della radice. Una funzione razionale è quindi una particolare funzione meromorfa

$f:\widehat{\mathbb{C}}\to\widehat{\mathbb{C}}$

definita sulla sfera di Riemann

$\widehat{\mathbb{C}} = \mathbb{C}\cup\{\infty\}.$

Tra queste, le trasformazioni di Möbius

$f(z) = \frac{az+b}{cz+d}$

giocano un ruolo importante in analisi complessa ed in geometria proiettiva. Sono le uniche funzioni meromorfe che inducono una corrispondenza biunivoca sulla sfera di Riemann.

Voci correlate

• Funzione (matematica)
• Funzione meromorfa
• Funzione speciale
• Trasformazione di Möbius
• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni razionali

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