Trasformazione di Möbius

In geometria, una trasformazione di Möbius è una funzione

$f(z) = \frac{a z + b}{c z + d}$

dove $z, a, b, c$ e $d$ sono numeri complessi con $ad-bc\neq 0$.

La funzione è definita sulla sfera di Riemann, ed è un ingrediente fondamentale della geometria proiettiva e dell'analisi complessa. Si usano anche i termini trasformazione omografica e trasformazione lineare fratta. Il nome è legato al matematico August Ferdinand Möbius.

Definizione

Una trasformazione di Möbius è una funzione

$f:\widehat\mathbb {C} \to \widehat\mathbb {C}$

definita sulla sfera di Riemann

$\widehat\mathbb {C} = \mathbb C \cup \{\infty\},$

della forma

$f(z) = \frac{a z + b}{c z + d}$

con determinante diverso da zero

$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc\neq 0.$

Automorfismi della sfera di Riemann

Esempi

La condizione sul determinante è necessaria affinché la funzione sia effettivamente definita su tutta la sfera di Riemann. Valgono in particolare le relazioni

$f\left(-\frac dc\right) = \frac{ad -bc}0 = +\infty,$

$f\left(-\frac ba\right) = \frac 0{-cb+ad} = 0,$

$f(\infty) = \frac ac.$

Rappresentazione tramite matrici

La trasformazione $f$ è determinata dalla matrice

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}.$

Poiché ha determinante non nullo, la matrice è invertibile. Quindi è un elemento del gruppo generale lineare ${\rm GL}_2(\mathbb C)$ composto da tutte le matrici complesse invertibili $2\times 2$.

La rappresentazione tramite matrici è molto comoda, in virtù del fatto seguente: la composizione di due trasformazioni di Möbius, descritte dalle matrici $A$ e $B$, è anch'essa una trasformazione di Möbius, descritta dalla matrice $BA$.

Automorfismo

La descrizione tramite matrici mostra che ogni trasformazione di Möbius è una funzione biettiva dalla sfera di Riemann in sé. Infatti, una trasformazione associata alla matrice $A$ ha una inversa, associata alla matrice inversa $A^{-1}$.

Per questo motivo una trasformazione di Möbius è chiamata automorfismo. Le trasformazioni di Möbius formano un gruppo, indicato con

$\rm Aut(\widehat\mathbb C).$

Struttura di gruppo

La rappresentazione matriciale fornisce un omomorfismo di gruppi

$h:{\rm GL}_2(\mathbb C) \to \rm Aut(\widehat\mathbb {C}).$

L'omomorfismo è suriettivo ma non iniettivo: il nucleo consiste infatti di tutte le matrici della forma $\lambda I$, dove $I$ è la matrice identità e $\lambda \neq 0$ è un numero complesso. Il primo teorema d'isomorfismo fornisce quindi un isomorfismo di gruppi

${\rm PGL}_2(\mathbb C):= {\rm GL}_2(\mathbb C)/_\sim \cong {\rm Aut}(\widehat\mathbb {C})$

dove $A\sim B$ se e solo se $A =\lambda B$ per qualche $\lambda$. Il quoziente è indicato con una "P" davanti, perché questa costruzione è identica a quella dello spazio proiettivo di uno spazio vettoriale.

Proprietà basilari

Trasformazioni elementari

Ogni automorfismo di Möbius è ottenuto componendo alcune trasformazioni elementari di questo tipo:

1. $f(z) = z + b \;$      (traslazione)
2. $f(z) = 1/z \;$         (inversione)
3. $f(z) = az \;$           (omotetia e rotazione)

La traslazione tiene fisso il punto all'infinito e trasla tutti i punti del piano complesso. L'inversione scambia i punti $0$ e $\infty$. A proposito della terza trasformazione, scrivendo $a$ in coordinate polari

$a = re^{i\theta} \;$

si verifica che è una rotazione di angolo $\theta$, composta con una omotetia di fattore $r$.

Mappe conformi

Un automorfismo di Möbius è una mappa conforme, una mappa cioè che preserva gli angoli. Infatti, ciascuna delle trasformazioni elementari descritte preserva gli angoli. Un automorfismo però non preserva lunghezze o aree.

Rette e circonferenze

L'inversione $f(z)=1/z$ manda l'infinito in zero, e quindi le rette (che sono circonferenze passanti per l'infinito) in circonferenze e rette passanti per l'origine.

Una circonferenza nella sfera di Riemann $\widehat\mathbb C$ è una circonferenza di $\mathbb C$, oppure una retta di $\mathbb C$ completata con il punto all'infinito.

L'immagine $f(C)$ di una circonferenza $C$ tramite una funzione di Möbius $f$ è un'altra circonferenza. Le trasformazioni di Möbius mandano quindi circonferenze in circonferenze.

Questa proprietà è verificata dalle trasformazioni elementari (traslazioni, inversioni, rotazioni, omotetie), e per questo motivo è verificata da qualsiasi trasformazione.

Birapporto

Una trasformazione di Möbius $f$ preserva il birapporto ${\rm brp}(z_1, z_2, z_3, z_4)$ di quattro punti della sfera di Riemann. Vale cioè la relazione

${\rm brp}(z_1, z_2, z_3, z_4) = {\rm brp}(f(z_1), f(z_2), f(z_3), f(z_4)). \;$

Funzione meromorfa

Con il linguaggio dell'analisi complessa, un automorfismo di Möbius è una particolare funzione meromorfa, avente un polo in $z = -d/c$ di ordine 1.

Trasformazione proiettiva

Con il linguaggio della geometria proiettiva, la sfera di Riemann è identificata con la retta proiettiva complessa $\mathbb{CP}^1$ tramite la mappa

$\phi:\mathbb{CP}^1\to\widehat\mathbb C,$

$\phi:[z_0,z_1] \mapsto \frac{z_0}{z_1}.$

Con questa identificazione, le trasformazioni di Möbius sono esattamente gli isomorfismi proiettivi della retta proiettiva complessa.

Voci correlate

• Sfera di Riemann
• Retta proiettiva
• Funzione meromorfa

Collegamenti esterni

• (EN) Video dimostrativo su YouTube

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica