Trasformazione di Möbius

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In geometria, una trasformazione di Möbius è una funzione

f(z) = \frac{a z + b}{c z + d}

dove  z, a, b, c e  d sono numeri complessi con ad-bc\neq 0 .

La funzione è definita sulla sfera di Riemann, ed è un ingrediente fondamentale della geometria proiettiva e dell'analisi complessa. Si usano anche i termini trasformazione omografica e trasformazione lineare fratta. Il nome è legato al matematico August Ferdinand Möbius.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una trasformazione di Möbius è una funzione

f:\widehat\mathbb {C} \to \widehat\mathbb {C}

definita sulla sfera di Riemann

\widehat\mathbb {C} = \mathbb C \cup \{\infty\},

della forma

f(z) = \frac{a z + b}{c z + d}

con determinante diverso da zero

\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc\neq 0.

Automorfismi della sfera di Riemann[modifica | modifica sorgente]

Esempi[modifica | modifica sorgente]

La condizione sul determinante è necessaria affinché la funzione sia effettivamente definita su tutta la sfera di Riemann. Valgono in particolare le relazioni

 f\left(-\frac dc\right) = \frac{ad -bc}0 = \infty,
 f\left(-\frac ba\right) = \frac 0{-cb+ad} = 0,
 f(\infty) = \frac ac.

Rappresentazione tramite matrici[modifica | modifica sorgente]

La trasformazione  f è determinata dalla matrice

 A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}.

Poiché ha determinante non nullo, la matrice è invertibile. Quindi è un elemento del gruppo generale lineare  {\rm GL}_2(\mathbb C) composto da tutte le matrici complesse invertibili 2\times 2 .

La rappresentazione tramite matrici è molto comoda, in virtù del fatto seguente: la composizione di due trasformazioni di Möbius, descritte dalle matrici  A e  B , è anch'essa una trasformazione di Möbius, descritta dalla matrice  BA .

Automorfismo[modifica | modifica sorgente]

La descrizione tramite matrici mostra che ogni trasformazione di Möbius è una funzione biettiva dalla sfera di Riemann in sé. Infatti, una trasformazione associata alla matrice  A ha una inversa, associata alla matrice inversa  A^{-1} .

Per questo motivo una trasformazione di Möbius è chiamata automorfismo. Le trasformazioni di Möbius formano un gruppo, indicato con

\rm Aut(\widehat\mathbb C).

Struttura di gruppo[modifica | modifica sorgente]

La rappresentazione matriciale fornisce un omomorfismo di gruppi

h:{\rm GL}_2(\mathbb C) \to \rm Aut(\widehat\mathbb {C}).

L'omomorfismo è suriettivo ma non iniettivo: il nucleo consiste infatti di tutte le matrici della forma \lambda I , dove  I è la matrice identità e \lambda \neq 0 è un numero complesso. Il primo teorema d'isomorfismo fornisce quindi un isomorfismo di gruppi

{\rm PGL}_2(\mathbb C):= {\rm GL}_2(\mathbb C)/_\sim \cong {\rm Aut}(\widehat\mathbb {C})

dove  A\sim B se e solo se  A =\lambda B per qualche \lambda . Il quoziente è indicato con una "P" davanti, perché questa costruzione è identica a quella dello spazio proiettivo di uno spazio vettoriale.

Proprietà basilari[modifica | modifica sorgente]

Trasformazioni elementari[modifica | modifica sorgente]

Ogni automorfismo di Möbius è ottenuto componendo alcune trasformazioni elementari di questo tipo:

  1.  f(z) = z + b  \;      (traslazione)
  2.  f(z) = 1/z \;         (inversione)
  3.  f(z) = az \;           (omotetia e rotazione)

La traslazione tiene fisso il punto all'infinito e trasla tutti i punti del piano complesso. L'inversione scambia i punti  0 e \infty . A proposito della terza trasformazione, scrivendo  a in coordinate polari

 a = re^{i\theta} \;

si verifica che è una rotazione di angolo \theta , composta con una omotetia di fattore  r .

Mappe conformi[modifica | modifica sorgente]

Un automorfismo di Möbius è una mappa conforme, una mappa cioè che preserva gli angoli. Infatti, ciascuna delle trasformazioni elementari descritte preserva gli angoli. Un automorfismo però non preserva lunghezze o aree.

Rette e circonferenze[modifica | modifica sorgente]

L'inversione f(z)=1/z manda l'infinito in zero, e quindi le rette (che sono circonferenze passanti per l'infinito) in circonferenze e rette passanti per l'origine.

Una circonferenza nella sfera di Riemann  \widehat\mathbb C è una circonferenza di \mathbb C , oppure una retta di  \mathbb C completata con il punto all'infinito.

L'immagine  f(C) di una circonferenza  C tramite una funzione di Möbius  f è un'altra circonferenza. Le trasformazioni di Möbius mandano quindi circonferenze in circonferenze.

Questa proprietà è verificata dalle trasformazioni elementari (traslazioni, inversioni, rotazioni, omotetie), e per questo motivo è verificata da qualsiasi trasformazione.

Birapporto[modifica | modifica sorgente]

Una trasformazione di Möbius  f preserva il birapporto  {\rm brp}(z_1, z_2, z_3, z_4) di quattro punti della sfera di Riemann. Vale cioè la relazione

 {\rm brp}(z_1, z_2, z_3, z_4) = {\rm brp}(f(z_1), f(z_2), f(z_3), f(z_4)). \;

Funzione meromorfa[modifica | modifica sorgente]

Con il linguaggio dell'analisi complessa, un automorfismo di Möbius è una particolare funzione meromorfa, avente un polo in  z = -d/c di ordine 1.

Trasformazione proiettiva[modifica | modifica sorgente]

Con il linguaggio della geometria proiettiva, la sfera di Riemann è identificata con la retta proiettiva complessa \mathbb{CP}^1 tramite la mappa

 \phi:\mathbb{CP}^1\to\widehat\mathbb C,
 \phi:[z_0,z_1] \mapsto \frac{z_0}{z_1}.

Con questa identificazione, le trasformazioni di Möbius sono esattamente gli isomorfismi proiettivi della retta proiettiva complessa.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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