Polinomio irriducibile

In matematica, un polinomio p(x) si dice irriducibile quando ha come unici divisori 1 e se stesso, cioè quando non esistono dei polinomi q(x) e s(x) tali che q(x)*s(x)=p(x) con q(x) e s(x) non invertibili. Negli altri casi il polinomio si dice riducibile.

Se i coefficienti del polinomio sono presi in un campo, i fattori di un polinomio riducibile sono entrambi di grado inferiore e non costanti. Ad esempio

$p(x) = x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$

è riducibile.

Se però i coefficienti sono considerati appartenenti ad un anello, questo non è sempre vero: ad esempio il polinomio 2x+6 è ovviamente irriducibile se considerato come polinomio in $\mathbb{Q}[X]$, mentre è riducibile se considerato su $\mathbb{Z}[X]$, perché la fattorizzazione 2x+6=2(x+3) non è banale, in quanto l'inverso di 2, ovvero 1/2, non è un numero intero, e quindi 2 non è un elemento invertibile dell'anello dei polinomi a coefficienti interi.

Esempi

L'irriducibilità dipende fortemente dalla scelta dell'anello a cui devono appartenere i coefficienti. Ad esempio, il polinomio

$p(x) = x^2 - 2$

è irriducibile se tale anello è quello degli interi, mentre è riducibile se l'anello è il campo dei numeri reali, perché qui si spezza in

$p(x) = x^2 - 2 = (x+\sqrt 2)(x-\sqrt 2).$

Analogamente, il polinomio

$q(x) = x^2 + 1$

è irriducibile sui numeri reali, mentre è riducibile sui numeri complessi, perché si scompone come

$q(x) = (x+i) (x-i)$

Polinomi irriducibili nei vari campi

Numeri complessi

Per il teorema fondamentale dell'algebra, un polinomio è irriducibile sul campo dei complessi se e solo se ha grado 1.

Numeri reali

I polinomi irriducibili sul campo dei reali sono precisamente:

• I polinomi di primo grado;
• I polinomi di secondo grado con delta minore di zero.

Quindi ogni polinomio a coefficienti reali è il prodotto di alcuni polinomi di questi due tipi. Questo deriva dal fatto che se un numero complesso z è uno zero di un polinomio, allora anche il suo complesso coniugato $\overline{z}$ è soluzione, e il prodotto dei fattori

$(x-z)(x-\overline{z})=x^2-(z+\overline{z})x+z\overline{z}$

è formato da numeri reali.

Numeri razionali

Sul campo dei numeri razionali, esistono polinomi irriducibili di qualsiasi grado, ma non esiste nessun criterio generale per determinare se un polinomio sia irriducibile o meno. Esistono tuttavia vari metodi che possono dare o meno risultati; generalmente il primo passo è trasformare il polinomio originario in un polinomio a coefficienti interi, moltiplicandolo per il minimo comune multiplo dei denominatori. L'operazione è lecita grazie al lemma di Gauss, che garantisce che il polinomio originale è irriducibile se e solo se lo è il trasformato (a meno di fattori costanti, che sono irriducibili su $\mathbb{Z}[x]$ ma invertibili in $\mathbb{Q}[x]$). Dopo si possono provare varie strade:

• Cercare radici razionali; per il teorema delle radici razionali il loro numeratore deve dividere a₀, mentre il denominatore deve dividere il coefficiente direttore. L'insieme dei valori possibili è così limitato; se uno di questi è una radice, allora il polinomio è sicuramente riducibile.
• Tentare di applicare il criterio di Eisenstein.
• Trasferire il polinomio in $\mathbb{Z}_p[x]$, con p primo tale che $p\nmid a_n$; se il polinomio è irriducibile in questo anello allora sarà irriducibile anche in $\mathbb{Q}[x]$.

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