Decomposizione in fratti semplici

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In algebra, la decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale, anche detta decomposizione in frazioni semplici o espansione in fratti semplici, è la scrittura della frazione tramite un polinomio (che può essere nullo) sommato ad una o più frazioni con un denominatore più semplice. Tale metodo fornisce un algoritmo che consente di valutare le primitive di una funzione razionale.

Per illustrare l'idea del procedimento, sia data una funzione razionale R(x) = f(x) / g(x) , in cui f e g sono polinomi, e si consideri la fattorizzazione g(x) = g_1(x) \cdot g_2(x) \cdot \dots del denominatore. Per ogni fattore che ha la forma (ax + b)^n si considerano le frazioni A_1 / (ax + b)^1, A_2 / (ax + b)^2, \dots ,A_n / (ax + b)^n, mentre per ogni fattore che ha la forma (ax^2 + bx + c)^n si considerano le frazioni:

\frac{A_1 x + B_1}{(ax^2 + bx + c)^1}, \frac{A_2 x + B_2}{(ax^2 + bx + c)^2}, \dots ,\frac{A_n x + B_n}{(ax^2 + bx + c)^n}

Si ottiene così la scrittura:[1]

R(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A_1}{ax + b} + \dots + \frac{A_2 x + B_2}{ax^2 + bx + c} + \dots

e calcolando i coefficienti A_i e B_i si trova una decomposizione che consente, analizzandone ogni singolo termine, di integrare la frazione di partenza. Essa conduce quindi R ad un'espressione del tipo:

 \sum_j \frac{f_j(x)}{g_j(x)}

dove f_j(x) e g_j(x) sono polinomi di grado inferiore rispetto a f e g.

Se si applica la decomposizione fin dove è possibile si ottiene che il denominatore di ogni termine è una potenza di un polinomio non fattorizzabile e il numeratore è un polinomio di grado inferiore di quello del polinomio non fattorizzabile.

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri una funzione razionale R(x) = f(x) / g(x) nella variabile x il cui denominatore si può fattorizzare come:

 g(x) = P(x) \cdot Q(x)

sul campo K, che può essere ad esempio \R o \C. Se P e Q non hanno nessun fattore comune, allora R si può scrivere come:

 \frac{A}{P} + \frac{B}{Q}

per qualche coppia di polinomi A(x) e B(x) su K. L'esistenza di tale decomposizione è una conseguenza del fatto che l'anello dei polinomi su K è un dominio ad ideali principali, sicché:

CP + DQ = 1

per qualche coppia di polinomi C(x) e D(x) (si veda l'identità di Bézout).

Con tale approccio si può induttivamente scrivere R(x) come una somma di frazioni i cui denominatori sono potenze di polinomi irriducibili.

In modo più rigoroso, siano f e g polinomi non nulli su K. Si scriva g come prodotto di potenze di polinomi non fattorizzabili:

g=\prod_{i=1}^k p_i^{n_i}

Allora esistono unici i polinomi b e a_{ij}, di cui a_{ij} hanno grado inferiore a quello di p_i, tali che:

\frac{f}{g}=b+\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i}\frac{a_{ij}}{p_i^j}

e se il grado di f è minore di quello di g allora b=0.

Si può verificare tale teorema scrivendo G(x) / F(x)^n come una somma in cui i denominatori sono potenze di F ed i numeratori sono polinomi di grado inferiore a quello di F, più un eventuale polinomio aggiuntivo. Per fare ciò si può utilizzare l'algoritmo di Euclide applicato ai polinomi.

Se K è il campo dei numeri complessi \C allora per il teorema fondamentale dell'algebra si può assumere che ogni p_i ha grado 1.

Calcolo di primitive[modifica | modifica wikitesto]

Siano f e g polinomi non nulli sul campo K. Si scriva g come prodotto di potenze di polinomi vicendevolmente primi che non hanno radici multiple in un campo algebricamente chiuso:

g=\prod_{i=1}^k p_i^{n_i}

Allora esistono unici i polinomi b e c_{ij}, di cui c_{ij} hanno grado inferiore a quello di p_i, tali che:

\frac{f}{g}=b+\sum_{i=1}^k\sum_{j=2}^{n_i}\left(\frac{c_{ij}}{p_i^{j-1}}\right)' + \sum_{i=1}^k \frac{c_{i1}}{p_i}

dove l'apice denota la derivata. Questo risultato consente di ridurre il calcolo della primitiva di una funzione razionale all'integrazione della somma al secondo membro, detta parte logaritmica a causa del fatto che la sua primitiva è una combinazione lineare di logaritmi. Infatti, si ha:

\frac{c_{i1}}{p_i}=\sum_{\alpha_j:p_i(\alpha_j)=0}\frac{c_{i1}(\alpha_j)}{p'_i(\alpha_j)}\frac{1}{x-\alpha_j}

Vi sono diversi metodi per calcolare tale decomposizione, il più semplice dei quali è il metodo di Hermite: si basa sul fatto che c_{ij} ha grado inferiore a quello di p_i, e che il grado di b_i è la differenza (positiva) tra i gradi di f e g: questo consente di scrivere tali polinomi incogniti come polinomi noti con coefficienti ignoti. Riducendo i due termini della formula precedente in un'unica frazione si ottiene un sistema di equazioni lineari che consente di trovare tali coefficienti.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Si vuole decomporre l'espressione:

\frac{1}{x(x-1)(x-2)}

ovvero scriverla nella forma:

\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x-2}

in cui i parametri A, B e C sono ignoti. Moltiplicando queste due espressioni per x(x-1)(x-2) ed uguagliandole si ottiene:

A(x-1)(x-2) + Bx(x-2) + Cx(x-1) = 1,\,

Raccogliendo i termini che moltiplicano le potenze di x si ha:

(A+B+C)x^2 - (3A+2B+C)x + 2A = 1

Il polinomio al secondo membro ha solo il coefficiente di grado zero non nullo, e si possono uguagliare i coefficienti che moltiplicano le potenze di x di entrambi i membri. In questo modo si ottiene il sistema di equazioni lineari:

A+B+C = 0 \qquad 3A+2B+C = 0 \qquad 2A = 1

che fornisce:

A = \frac{1}{2} \qquad B = -1 \qquad C = \frac{1}{2}

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Eric W. Weisstein, Partial Fraction Decomposition in MathWorld, Wolfram Research.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) George W. Bluman, Problem Book for First Year Calculus, New York, Springer-Verlag, 1984, pp. 250–251.
  • (EN) Charles D. Miller, Margaret L. Lial e David I. Schneider, Fundamentals of College Algebra, 3rd ed., Addison-Wesley Educational Publishers, Inc., 1990, pp. 364–370, ISBN 0-673-38638-4.
  • (EN) Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 13-15, 1987.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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