Funzione beta di Eulero

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La funzione Beta di Eulero, detta anche integrale di Eulero del primo tipo, è data dall'integrale definito:

\beta(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt,

dove sia x che y hanno parte reale positiva e non nulla (in caso contrario, l'integrale divergerebbe). Questa funzione fu studiata per primo da Eulero e da Legendre, ma fu Jacques Binet a battezzarla con il suo nome attuale.

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

È una funzione simmetrica, cioè il suo valore non cambia scambiando x e y:

\beta \left( {x,y} \right) = \beta \left( {y,x} \right)

inoltre valgono anche le due seguenti identità:

  • \beta(1,1)=1
  • \beta\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\pi

La funzione Beta si può scrivere in molti modi, di cui i più comuni sono i seguenti:


 \mathrm{\beta}(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}

 \mathrm{\beta}(x,y) =
  2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,d\theta,
  \qquad \Re(x)>0,\ \Re(y)>0

 \mathrm{\beta}(x,y) =
  \int_0^{+\infty}\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt,
  \qquad \Re(x)>0,\ \Re(y)>0

 \mathrm{\beta}(x,y) =
  \dfrac{1}{y}\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\dfrac{(y)_{n+1}}{n!(x+n)}

dove \Gamma(x) è la funzione Gamma e (x)_n è il fattoriale discendente, cioè x(x - 1)(x - 2)\ldots(x - n + 1). In particolare, combinando la prima e la seconda forma si dimostra che \Gamma(1/2) = \sqrt \pi.

Così come la funzione gamma descrive i fattoriali dei numeri interi, cioè se l'argomento è un numero intero il suo risultato è il fattoriale di quel numero, la funzione Beta (con un piccolo aggiustamento degli indici) descrive i coefficienti binomiali: più precisamente è

{n \choose k} = \frac1{(n+1) \mathrm{B}(n-k+1, k+1)}

La funzione Beta è stato il primo modello di matrice S nella teoria delle stringhe, congetturato per la prima volta da Gabriele Veneziano.

Relazioni fra la funzione Gamma e la funzione Beta[modifica | modifica wikitesto]

Per ricavare la forma integrale della funzione beta, si può scrivere il prodotto di due fattoriali come:


 \Gamma(x)\Gamma(y) =
  \int_0^{+\infty} e^{-u} u^{x-1}\mathrm{d}u \int_0^{+\infty} e^{-v} v^{y-1}\mathrm{d}v.

Ora poniamo u \equiv a^2, v \equiv b^2 in modo che:

\begin{align}
 \Gamma(x)\Gamma(y) &=
  4\int_0^{+\infty} e^{-a^2} a^{2x-1}\mathrm{d}a \int_0^{+\infty} e^{-b^2} b^{2y-1}\mathrm{d}b \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(a^2+b^2)} |a|^{2x-1} |b|^{2y-1} \, \mathrm{d}a \, \mathrm{d}b.
\end{align}

Trasformiamo in coordinate polari con a = r\cos\theta, b = r\sin\theta:

\begin{align}
 \Gamma(x)\Gamma(y) &=
  \int_0^{2\pi}\ \int_0^{+\infty} e^{-r^2} |r\cos\theta|^{2x-1} |r\sin\theta|^{2y-1} r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta =\\
&= \int_0^{+\infty}\ e^{-r^2} r^{2x+2y-2} r\, \mathrm{d}r \int_0^{2\pi} |\cos^{2x-1}\theta \sin^{2y-1}\theta| \, \mathrm{d}\theta =\\
&= \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2(x+y-1)} \, \mathrm{d}(r^2)\,\cdot 4\int_0^{\pi/2}\ \cos^{2x-1}\theta \sin^{2y-1} \theta \, \mathrm{d}\theta =\\
&= 2\Gamma(x+y) \int_0^{\pi/2} \cos^{2x-1}\theta \sin^{2y-1} \theta \, \mathrm{d}\theta =\\
&= \Gamma(x+y) \beta(x,y).
\end{align}

e quindi riscriviamo gli argomento nella forma solita della funzione beta:

\beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.

Derivata[modifica | modifica wikitesto]

La derivata della funzione beta può essere scritta sfruttando, di nuovo, la funzione gamma:

{\partial \over \partial x} \mathrm{\beta}(x, y) = \mathrm{\beta}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{\beta}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))

dove \psi(x) è la funzione digamma.

Integrali[modifica | modifica wikitesto]

L'integrale di Nörlund-Rice è un integrale di circuitazione che coinvolge la funzione beta.

Funzione beta incompleta[modifica | modifica wikitesto]

La funzione beta incompleta è una generalizzazione della funzione beta che sostituisce l'integrale definito della funzione beta con un integrale indefinito. È una generalizzazione del tutto analoga a quella della funzione gamma (la funzione gamma incompleta).

La funzione beta incompleta è definita come:

 \beta(x;a,b) = \int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,\mathrm{d}t.

Per x=1, la funzione beta incompleta ridiventa la normale funzione beta.

La funzione beta incompleta regolarizzata (o più brevemente funzione beta regolarizzata) è definita in termini di entrambe le due:

 I_x(a,b) = \dfrac{\beta(x;a,b)}{\beta(a,b)}.

Calcolando l'integrale per valori interi di a e b, si ottiene:

 I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

 I_0(a,b) = 0
 I_1(a,b) = 1
 I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a)


Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]



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