Grafico delle curve di livello della funzione beta La funzione beta di Eulero , detta anche integrale di Eulero del primo tipo, è data dall'integrale definito :
β
(
x
,
y
)
=
∫
0
1
t
x
−
1
(
1
−
t
)
y
−
1
d
t
,
{\displaystyle \beta (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,}
dove sia
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
parte reale positiva e non nulla (in caso contrario, l'integrale divergerebbe). Questa funzione fu studiata per primo da Eulero e da Legendre , ma fu Jacques Binet a battezzarla con il suo nome attuale.
È una funzione simmetrica , cioè il suo valore non cambia scambiando
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
β
(
x
,
y
)
=
β
(
y
,
x
)
.
{\displaystyle \beta (x,y)=\beta (y,x).}
Inoltre valgono anche le due seguenti identità:
β
(
1
,
1
)
=
1
;
{\displaystyle \beta (1,1)=1;}
β
(
1
2
,
1
2
)
=
π
.
{\displaystyle \beta \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)=\pi .}
La funzione beta si può scrivere in molti modi, di cui i più comuni sono i seguenti:
β
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
;
{\displaystyle \beta (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}};}
β
(
x
,
y
)
=
2
∫
0
π
/
2
sin
2
x
−
1
θ
cos
2
y
−
1
θ
d
θ
,
ℜ
(
x
)
>
0
,
ℜ
(
y
)
>
0
;
{\displaystyle \beta (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\qquad \Re (x)>0,\,\Re (y)>0;}
β
(
x
,
y
)
=
∫
0
+
∞
t
x
−
1
(
1
+
t
)
x
+
y
d
t
,
ℜ
(
x
)
>
0
,
ℜ
(
y
)
>
0
;
{\displaystyle \beta (x,y)=\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad \Re (x)>0,\,\Re (y)>0;}
β
(
x
,
y
)
=
1
y
∑
n
=
0
+
∞
(
−
1
)
n
(
y
)
n
+
1
n
!
(
x
+
n
)
;
{\displaystyle \beta (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}{\dfrac {(y)_{n+1}}{n!(x+n)}};}
dove
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)}
funzione Gamma e
(
x
)
n
{\displaystyle (x)_{n}}
fattoriale discendente , cioè
x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
+
1
)
{\displaystyle x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}
Γ
(
1
/
2
)
=
π
{\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}
Così come la funzione gamma descrive i fattoriali dei numeri interi, cioè se l'argomento è un numero intero
n
{\displaystyle n}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
coefficienti binomiali ; più precisamente è
(
n
k
)
=
1
(
n
+
1
)
B
(
n
−
k
+
1
,
k
+
1
)
.
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\operatorname {B} (n-k+1,k+1)}}.}
La funzione beta è stato il primo modello di matrice S nella teoria delle stringhe , congetturato per la prima volta da Gabriele Veneziano .
Relazioni fra la funzione gamma e la funzione beta [ modifica | modifica wikitesto ] Per ricavare la forma integrale della funzione beta, si può scrivere il prodotto di due fattoriali come:
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
0
+
∞
e
−
u
u
x
−
1
d
u
∫
0
+
∞
e
−
v
v
y
−
1
d
v
.
{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{+\infty }e^{-u}u^{x-1}\mathrm {d} u\int _{0}^{+\infty }e^{-v}v^{y-1}\mathrm {d} v.}
Ora poniamo
u
≡
a
2
{\displaystyle u\equiv a^{2}}
v
≡
b
2
{\displaystyle v\equiv b^{2}}
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
4
∫
0
+
∞
e
−
a
2
a
2
x
−
1
d
a
∫
0
+
∞
e
−
b
2
b
2
y
−
1
d
b
=
∫
−
∞
+
∞
∫
−
∞
+
∞
e
−
(
a
2
+
b
2
)
|
a
|
2
x
−
1
|
b
|
2
y
−
1
d
a
d
b
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=4\int _{0}^{+\infty }e^{-a^{2}}a^{2x-1}\mathrm {d} a\int _{0}^{+\infty }e^{-b^{2}}b^{2y-1}\mathrm {d} b\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-(a^{2}+b^{2})}|a|^{2x-1}|b|^{2y-1}\,\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b.\end{aligned}}}
Trasformiamo in coordinate polari con
a
=
r
cos
θ
{\displaystyle a=r\cos \theta }
b
=
r
sin
θ
{\displaystyle b=r\sin \theta }
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
0
2
π
∫
0
+
∞
e
−
r
2
|
r
cos
θ
|
2
x
−
1
|
r
sin
θ
|
2
y
−
1
r
d
r
d
θ
=
=
∫
0
+
∞
e
−
r
2
r
2
x
+
2
y
−
2
r
d
r
∫
0
2
π
|
cos
2
x
−
1
θ
sin
2
y
−
1
θ
|
d
θ
=
=
1
2
∫
0
+
∞
e
−
r
2
r
2
(
x
+
y
−
1
)
d
(
r
2
)
⋅
4
∫
0
π
/
2
cos
2
x
−
1
θ
sin
2
y
−
1
θ
d
θ
=
=
2
Γ
(
x
+
y
)
∫
0
π
/
2
cos
2
x
−
1
θ
sin
2
y
−
1
θ
d
θ
=
=
Γ
(
x
+
y
)
β
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{0}^{2\pi }\ \int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}|r\cos \theta |^{2x-1}|r\sin \theta |^{2y-1}r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta =\\&=\int _{0}^{+\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2x+2y-2}r\,\mathrm {d} r\int _{0}^{2\pi }|\cos ^{2x-1}\theta \sin ^{2y-1}\theta |\,\mathrm {d} \theta =\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}r^{2(x+y-1)}\,\mathrm {d} (r^{2})\,\cdot 4\int _{0}^{\pi /2}\ \cos ^{2x-1}\theta \sin ^{2y-1}\theta \,\mathrm {d} \theta =\\&=2\Gamma (x+y)\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2x-1}\theta \sin ^{2y-1}\theta \,\mathrm {d} \theta =\\&=\Gamma (x+y)\beta (x,y).\end{aligned}}}
e quindi riscriviamo gli argomenti nella forma solita della funzione beta:
β
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \beta (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}
La derivata della funzione beta può essere scritta sfruttando, di nuovo, la funzione gamma:
∂
∂
x
β
(
x
,
y
)
=
β
(
x
,
y
)
(
Γ
′
(
x
)
Γ
(
x
)
−
Γ
′
(
x
+
y
)
Γ
(
x
+
y
)
)
=
β
(
x
,
y
)
(
ψ
(
x
)
−
ψ
(
x
+
y
)
)
,
{\displaystyle {\partial \over \partial x}\beta (x,y)=\beta (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\beta (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y)),}
dove
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
funzione digamma .
L'integrale di Nörlund-Rice è un integrale di circuitazione che coinvolge la funzione beta.
La funzione beta incompleta è una generalizzazione della funzione beta che sostituisce l'integrale definito della funzione beta con un integrale indefinito . È una generalizzazione del tutto analoga a quella della funzione gamma (la funzione gamma incompleta ).
La funzione beta incompleta è definita come:
β
(
x
;
a
,
b
)
=
∫
0
x
t
a
−
1
(
1
−
t
)
b
−
1
d
t
.
{\displaystyle \beta (x;a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,\mathrm {d} t.}
Per
x
=
1
{\displaystyle x=1}
La funzione beta incompleta regolarizzata (o più brevemente funzione beta regolarizzata ) è definita in termini di entrambe le due:
I
x
(
a
,
b
)
=
β
(
x
;
a
,
b
)
β
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\beta (x;a,b)}{\beta (a,b)}}.}
Calcolando l'integrale per valori interi di
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
I
x
(
a
,
b
)
=
∑
j
=
a
a
+
b
−
1
(
a
+
b
−
1
)
!
j
!
(
a
+
b
−
1
−
j
)
!
x
j
(
1
−
x
)
a
+
b
−
1
−
j
.
{\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}
Valgono le seguenti identità:
I
0
(
a
,
b
)
=
0
;
{\displaystyle I_{0}(a,b)=0;}
I
1
(
a
,
b
)
=
1
;
{\displaystyle I_{1}(a,b)=1;}
I
x
(
a
,
b
)
=
1
−
I
1
−
x
(
b
,
a
)
.
{\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a).}
(EN A course of Modern Analysis (EN Functions of a complex variable (EN Handbook of Mathematical Functions [1] (funzione beta) p. 263 (funzione beta incompleta)
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla Funzione beta di Eulero
